Cómo demostrar este % integral $\int_0^{2\pi }{\frac{{{e^{\cos x}}\cos\left({\sin x}\right)}}{{p-\cos\left({y-x}\right)}}}dx$

Question

muestran que

$$ \int\limits_0^{2\pi }{\frac{{{e^{\cos x}}\cos\left({\sin x}\right)}}{{p-\cos\left({y-x}\right)}}}dx =\frac{{2\pi }}{{\sqrt{{p^2}-1}}}\exp\left({\frac{{\cos y}}{{p+\sqrt{{p^2}-1}}}}\right)\cos\left({\frac{{\sin y}}{{p+\sqrt{{p^2}-1}}}}\right);\left({p > 1}\right) $$

Creo que esto es agradable integral, pero no puedo mostrarlo, gracias

Answer 1

Observe que el numerador es simplemente la parte real de la $e^{e^{i x}}$. Por lo tanto, la integral es simplemente la parte real de la integral de contorno

$$2 i \oint_{|z|=1} dz \frac{e^z}{e^{-i y} z^2-2 p z + e^{i y}}$$

(Esto se deriva por la sustitución de $z=e^{i x}$, $dx = -i dz/z$, $\cos{x}=(z+z^{-1})/2$, $\sin{x}=(z-z^{-1})/(2 i)$, y haciendo un poco de álgebra.)

Los polos de el integrando se a $z_{\pm}=(p \pm \sqrt{p^2-1}) e^{i y}$, de los cuales sólo el $z_-$ está dentro del círculo unidad (recordemos que $p \gt 1$). El residuo en este polo es simplemente

$$2 i\frac{e^{(p-\sqrt{p^2-1}) e^{i y}}}{-2 \sqrt{p^2-1}}$$

y la integral es, por tanto, por el teorema de los residuos, $i 2 \pi$ veces este residuo, o

$$\frac{2 \pi}{\sqrt{p^2-1}} e^{(p-\sqrt{p^2-1}) e^{i y}}$$

A continuación, tomamos la parte real de los de arriba para obtener la codiciada integral. Por lo tanto,

$$\int_0^{2 \pi} dx \frac{e^{\cos{x}} \cos{(\sin{x})}}{p-\cos{(y-x)}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{p^2-1}} e^{\left (p-\sqrt{p^2-1}\right ) \cos{y}} \cos{\left [\left (p-\sqrt{p^2-1}\right ) \sin{y}\right ]} $$

como iba a ser mostrado.