Pregunta de probabilidad condicional con el teorema de Bayes

Question

Un tarro tiene 300 botones. 299 botones tienen un lado rojo y el otro azul. Uno de los botones tiene ambas caras azules. Tomo al azar un botón del tarro y lo lanzo 5 veces obteniendo 5 azules seguidos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya elegido el botón azul especial?

Lo hice: $$\begin{align} P(\text{chose blue button}|\text{5 blue tosses}) &= \frac{P(\text{choose blue button and 5 blue tosses})}{P(\text{5 blue tosses})}\\ &= \frac{\frac{1}{300}\cdot 1^5}{\frac{299}{300} \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \frac{1}{300}1^5} \end{align}$$ ¿Es esto correcto?

Answer 1

Aplicación directa del Teorema de Bayes. Estoy de acuerdo con @msm en que tienes el método y la respuesta correctos. Observe que su respuesta (aproximadamente 0,1) es sustancialmente mayor que la probabilidad (aproximadamente 0,003) de elegir el botón "azul puro sin la información condicional de "probar" el botón con 5 lanzamientos.

Sólo para verificar, he simulado el experimento 10 millones de veces en el software estadístico R. Los resultados coinciden razonablemente con tu respuesta. (Como la elección de un botón "azul puro" es tan rara, ese resultado simulado puede ser exacto a sólo unos 2, tal vez 3, lugares decimales).

 m = 10^7;  p = x = numeric(m)
 b = c(1, rep(.5, 299))     # buttons in jar
 for (i in 1:m) {
   p[i] = sample(b, 1)         # choose a button
   x[i] = rbinom(1, 5, p[i]) } # toss 5 times and count 'blue's
 mean(p == 1)                  # proportion of 'pure blue' buttons chosen
 ## 0.0033274
 1/300                    # compare
 ## 0.003333333
 mean(p[x==5] == 1)       # when get 5 'blues' what proportion 'pure blue' bottons
 ## 0.09672815
 1/(299/32 + 1)           # compare (your answer)
 ## 0.09667674

Answer 2

Es correcto. Tal vez sea más claro si se escribe como

$$\begin{align}P(\text{chose blue }|\text{5 blue tosses}) &= \frac{P(\text{5 blue tosses|blue})P(\text{blue})}{P(\text{5 blue tosses|blue })P(\text{blue })+P(\text{5 blue tosses|other})P(\text{other})} \\[10pt] &= \frac{(1^5)\frac{1}{300}}{(1^5)\frac{1}{300}+(\frac{1}{2})^5\frac{299}{300}}\end{align}$$