Cálculo de potencias muy altas de un determinado bloque de Jordania

Question

Deje $J$ ser el siguiente $k-by-k$ Jordania bloque: $$ J:= \begin{bmatrix} e^{i \theta} & 1 & \\ & e^{i \theta} & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & e^{i \theta} \end{bmatrix}. $$

Es allí una manera eficiente para el cálculo de la acción de las grandes potencias de $J$, es decir: $$J^n x$$ dentro de la tolerancia $\epsilon$, cuando se $n$ es muy grande?

Notas,

• El objetivo es encontrar un procedimiento de cálculo $f_n$, por lo que el $||f_n(x)-J^nx||<\epsilon$ todos los $x$, y la computación $f_n(x)$ (significativamente) menos trabajo que de forma iterativa la aplicación de $J$ más y más.
• Siéntase libre de hacer $n$ dependen de la $k$ $\epsilon$ y deje $n$ ser tan grande como desee - estoy interesado en el comportamiento asintótico.
• $\theta/2\pi$ podría ser irracional

Answer 1

Yo no veo mucho problema. Escribir $J = e^{i \theta} I \; + \; K,$ donde $I$ es la matriz identidad y $K$ es la matriz de $1$'s justo por encima de la diagonal principal. El punto, por supuesto, es que el$KI = IK = K$$K^k = 0.$, por Lo que $$ (e^{i \theta} I + K)^n = \sum_{w = 0}^{k-1} \; \binom{n}{w} e^{i (n-w) \theta} \; K^w $$ donde $K^0 = I.$

Casi me utilizarse $N$ para el nilpotent parte, pero sentí $K$ funcionado mejor aquí. Tenga en cuenta que el cero entradas en $K^w$ $1$'s en las posturas $ij,$ significado de la fila $i$ y la columna $j,$$1 \leq i \leq k - w$$j = i + w.$, por Lo que estos son paralelas a la diagonal principal. Por el momento en que llegamos a $w= k-1,$ el único distinto de cero de la entrada en $K^{k-1}$ es una sola $1$ en la posición $1k.$ Y, a continuación, $K^k =0.$ Así, por lo que puede ser vale la pena, la receta de arriba da un valor explícito para cada uno de los $(k^2 + k)/2$ cero entradas. Cómo te sientes acerca de la precisión potencial de cada una de estas entradas, $ \binom{n}{w} e^{i (n-w) \theta}, $ es otro asunto, ya que el coeficiente binomial puede ser enorme.

En la nota de precisión, quiero indicar que mi respuesta a esta $\sin(A)$ donde $A$ es una matriz , la mención de los jerbos, sino también mencionar el comentario debajo con un artículo sobre numéricamente dudosa maneras de encontrar a $e^A$ para una matriz cuadrada $A.$ creo que el mensaje es el partido de los métodos a las necesidades. Ver pdf en DUDOSA