Teoría de la probabilidad y la medida

Question

Me gustaría tener un correcto entendimiento general de la importancia de la teoría de la medida en la teoría de la probabilidad. Por ahora, parece que los matemáticos trabajan con la noción de probabilidad de medir y demostrar teoremas, porque se organizan automáticamente con arreglo hace que el teorema de verdad, no importa si trabajamos con discretas y continuas de probabilidad de la distribución.

Así, por ejemplo, el valor esperado - podemos demostrar la Ley de los grandes números a través de su definición general (medida teórica) $\operatorname{E} [X] = \int_\Omega X \, \mathrm{d}P$, y a continuación se derivan de la fórmula para discretos y continuos casos (discreta y continua de variables aleatorias), sin tener que probar por separado para cada caso (tenemos una prueba en lugar de dos). Uno podría decir que la Ley de los grandes números justifica la definición de valor esperado, por el camino.

Es correcto decir que la probabilidad de utilizar la noción general de la probabilidad de medir ahorra el trabajo de los matemáticos? ¿Cuáles son las otras ventajas?

Por favor me corrija si estoy equivocado, pero espero que la idea de qué tipo de información puedo esperar - es la importancia y el papel de la teoría de la medida de la probabilidad y la respuesta a la pregunta: ¿hay teoremas de la probabilidad de que no se mantenga para general la probabilidad de medir, pero que son verdaderas sólo para discretas o continuas de distribución de probabilidad? Si podemos demostrar que no teoremas que puede existir, simplemente podemos olvidar acerca de la distinción entre discreta y continua de las distribuciones.

Si alguien podría llegar a un claro, conciso resumen, yo estaría agradecido. Yo no soy un experto, así que por favor tener esto en cuenta.

Answer 1

2 razones por la teoría de la medida es necesaria en la probabilidad:

1. Tenemos que trabajar con variables aleatorias que no son discretos ni continua como $X$ a continuación:

Deje $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ ser un espacio de probabilidad y deje $Z, B$ $X$ ser variables aleatorias en $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ s.t.

$Z$ ~ $N(\mu,\sigma^2)$, $B$ ~ Bin$(n,p)$ $X = Z1_A + B1_{A^c}$ donde $A \in \mathscr{F}$

2. Necesitamos trabajar con ciertos conjuntos:

Considere la posibilidad de $U$ ~ Unif$([0,1])$ s.t. $f_U(u) = 1_{[0,1]}$ $([0,1], 2^{[0,1]}, \lambda)$.

En la probabilidad de w/o la teoría de la medida:

Si $(i_1, i_2) \subseteq [0,1]$, $$P(U \in (i_1, i_2)) = \int_{i_1}^{i_2} 1 du = i_2 - i_1$$

En probabilidad w/ teoría de la medida:

$$P(U \in (i_1, i_2)) = \lambda((i_1, i_2)) = i_2 - i_1$$

De modo que las necesidades de teoría de la medida correcta? Bueno, ¿qué pasa si tratamos de calcular

$$P(U \in \mathbb{Q} \cup [0,1])?$$

Necesitamos la teoría de la medida a decir $$P(U \in \mathbb{Q} \cup [0,1]) = \lambda(\mathbb{Q}) = 0$$

Creo que la integración de Riemann no dar una respuesta para $$\int_{\mathbb{Q} \cup [0,1]} 1 du$$.

Además, $\exists A \in {[0,1]}$ s.t. $P(U \in A)$ es indefinido.

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De Rosenthal Un Primer Vistazo a la Rigurosa de la Teoría de la Probabilidad:

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Answer 2

Dado que la medida de la teoría de la axiomatization de la probabilidad fue formulado mediante la prueba de Kolmogorov, creo que estaría muy interesado en este artículo. He tenido problemas similares a los de usted, y la mayoría de ellos fueron aclarados después de la lectura - aunque también he leído la prueba de Kolmogorov original de la obra después de eso.

Una de las ideas es que históricamente hubo pruebas para LLN y CLT disponibles sin el uso explícito de la teoría de la medida, sin embargo, tanto Borel y el test de Kolmogorov comenzó a medir el uso de las herramientas teóricas para resolver problemas probabilísticos en $[0,1]$ y espacios similares, tales como el tratamiento de un binario de expansión de $x\in [0,1]$ coordenadas de un paseo aleatorio. Entonces la idea era: funciona bien, lo que si tratamos de utilizar este método mucho más a menudo, e incluso decir que este es el camino a seguir, en realidad? Cuando el trabajo de Kolmogorov fue el primero en salir, no todos matemático estaba de acuerdo con su afirmación (por decir lo menos). Pero eres un poco a la derecha para decir que la teoría de la medida permite el manejo con una probabilidad de más fácil. Es como resolución básica de problemas geométricos utilizando el vector de álgebra.

En relación a los hechos disponibles exclusivamente para discreto/continuo distribuciones: en general, un buen probabilístico teorema es bastante general, y funciona bien con ambos casos. Sin embargo, hay algunas cosas que se mantenga para el "continuo" de medidas. Un nombre apropiado para el continuo es atomless: $\mu$ es atomless si para cualquier conjunto medible $F$ existe $E \subseteq F$ tal que $\mu(E) < \mu(F)$ donde la desigualdad debe ser estricta. Entonces el rango de a $\mu$ es convexa, que es para todos los $0 \leq c \leq \mu(\Omega)$ existe un conjunto $C$ tal que $\mu(C) = c$. Por supuesto, que no se cumple para las medidas con los átomos. No probabilística de hecho, aunque.

Answer 3

Hay un emocionante y sorprendente teorema de Kai Lai Chung es Un Curso en Teoría de la Probabilidad acerca de las funciones de distribución (d.f.), que establece :

o con este refinamiento,

Esta super profesional de la declaración, overkills cada edad de la moda de la teoría de la probabilidad sobre discretos, continuos o mixto de distribución de funciones !

Teorema 1.3.2 no puede ser demostrado, a menos que el poderoso paradigma, Teoría de la Medida.

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Por otra parte, la Teoría de la Medida tiene mucho más herramientas para el estudio de la Teoría de la Probabilidad. De hecho,

• Fuerte de la Ley de los Grandes Números NO puede ser probada sin Teoría de la medida.

• NO se puede definir el Movimiento Browniano precisamente

• NO se puede trabajar con Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sin Teoría de la Medida