Demostrar que todo grupo de orden $4$ es abeliano

Question

¿Cómo puedo mostrar que cada grupo de orden $4$ es abeliano?

Denotemos $e,a,b,c$ como los cuatro elementos del grupo.

Dado que $e$ es la identidad, tenemos $e*x=x*e$ para cada $x:

$$\begin{array}{|c|cccc|} \hline & e & a & b & c \\\hline e & e & a & b & c \\ a & a & & & \\ b & b & & & \\ c & c & & & \\\hline \end{array}$$

Ahora, $a*a=$? Tenemos varias posibilidades.

Si elijo $a*a=b$ puedo mostrar $a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a.

Pero hasta ahora solo he mostrado que $a$ y $b$ conmutan, hay otras parejas. Y solo he discutido la elección $a*a=b$, también hay otras posibilidades. ¿Existe una manera más simple de hacer esto?

Answer 1

Consideremos un grupo $G$ de orden $4$. Supongamos, hacia una contradicción, que $G$ no es abeliano. Entonces debe existir algunos elementos distintos de identidad $x, y \in G$ tales que $xy \neq yx$. Pero notemos que:

• $xy \neq e$ y $yx \neq e$ (ya que $x$ e $y$ no conmutan, entonces $y \neq x^{-1}$)
• $xy \neq x$ y $yx \neq x$ (ya que por hipótesis $y \neq e$)
• $xy \neq y$ y $yx \neq y$ (ya que por hipótesis $x \neq e$)

Por lo tanto, se sigue que $e, x, y, xy, yx$ son $5$ elementos distintos que están todos en $G$. Pero esto contradice el hecho de que $G$ es de orden $4$. Por lo tanto, $G$ debe ser abeliano, como se deseaba.

Answer 2

Sea $G$ un grupo de orden $4$. Si $G$ es cíclico, hemos terminado. Si no, $x^2 = e$ para todo $x \in G$, lo que implica que $(xy)(xy) = e$ para todo $x, y \in G$. Multiplicando a la derecha por $yx$ obtenemos $xy = yx$.

Answer 3

Pista: Solo hay dos grupos de orden $4$. Uno de ellos tiene un elemento de orden $4; el otro no.

Answer 4

Hay tres posibles escenarios:

• El grupo tiene un elemento de orden 4

Sea $x$ el elemento de orden 4, entonces el grupo consiste en $e, x, x^2, x^3$, que es conmutativo (de hecho, cíclico)

• El grupo tiene un elemento de orden 3

Sea $x$ el elemento de orden 3, entonces el grupo consiste en $e, x, x^2$ y un elemento más $y$.

Entonces $xy$ tiene que ser $e, x, x^2$ o $y$, y es fácil comprobar que ninguno de ellos es posible. Este caso es imposible.

• Cada elemento tiene a lo sumo orden 2

Entonces, si $x, y \in G$, los elementos $x, y$ y $xy$ tienen orden 1 o 2. Tenemos $x^2 = y^2 = (xy)^2 = e$.

Entonces $$xxyy = x^2y^2 = (xy)^2 = xyxy \Rightarrow xy = yx$$

Answer 5

Hay exactamente dos grupos de orden $4$: uno es cíclico y, por lo tanto, abeliano, el otro no es cíclico, pero es abeliano. Para ver esto, te recomendaría que te "ensucies" las manos con el ejercicio a continuación. Completarlo te ayudará a comprender las propiedades que debe satisfacer un grupo y también a aprender por qué todos los grupos de orden $4$ son necesariamente isomorfos a uno de dos grupos abelianos de orden $4$: $\mathbb Z_4$ y el grupo de Klein de $4$ elementos.

Ejercicio: Intenta completar la tabla de Cayley para un grupo con elementos $e, a, b, c$: uno de los cuales, digamos $e$, debe ser la identidad. Sabemos que cada elemento debe aparecer una vez y solo una vez en cada fila y columna. Demuestra que no hay más ni menos que dos grupos de orden $4$, hasta el isomorfismo. Confirma que cada uno es abeliano (las entradas serán simétricas en relación a la diagonal principal de la tabla de Cayley $4\times 4$).