Demostrar que todo grupo de orden $4$ es abeliano

Question

¿Cómo puedo demostrar que todo grupo de orden $4$ es abeliano?

Denotemos $e,a,b,c$ como los cuatro elementos del grupo.

Depuis $e$ es la identidad, tenemos $e*x=x*e$ por cada $x$ :

$$\begin{array}{|c|cccc|} \hline & e & a & b & c \\\hline e & e & a & b & c \\ a & a & & & \\ b & b & & & \\ c & c & & & \\\hline \end{array}$$

Ahora $a*a=$ ? Tenemos varias posibilidades.

Si elijo $a*a=b$ Puedo mostrar $a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a$ .

Pero hasta ahora sólo he demostrado que $a$ y $b$ de conmutación, también hay otros pares. Y sólo he hablado de la elección $a*a=b$ Pero también hay otras posibilidades. ¿Hay alguna forma más sencilla de hacerlo?

Answer 1

Considere un grupo $G$ de orden $4$ . Supongamos, hacia una contradicción, que $G$ no es abeliana. Entonces deben existir algunos elementos distintos no identitarios $x,y\in G$ tal que $xy\ne yx$ . Pero fíjate que:

• $xy!=e$ y $yx!=e$ (ya que $x$ y $y$ no se desplazan, así que $y!=x^{-1}$ )
• $xy!=x$ y $yx!=x$ (ya que por hipótesis $y!=e$ )
• $xy!=y$ y $yx!=y$ (ya que por hipótesis $x!=e$ )

Por lo tanto, se deduce que $e,x,y,xy,yx$ son $5$ elementos distintos que están todos en $G$ . Pero esto contradice el hecho de que $G$ es de orden $4$ . Así, $G$ debe ser abeliana, como se desea.

Answer 2

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $4$ . Si $G$ es cíclico, hemos terminado. Si no lo es, $x^2 = e$ para todos $x \in G$ , lo que implica $(xy)(xy) = e$ para todos $x, y \in G$ . Multiplica a la derecha por $yx$ para conseguir $xy = yx$ .

Answer 3

SUGERENCIA: Sólo hay dos grupos de orden $4$ . Uno de ellos tiene un elemento de orden $4$ ; el otro no lo hace.

Answer 4

Hay tres escenarios posibles:

• El grupo tiene un elemento de orden 4

Dejemos que $x$ sea el elemento de orden $4$ entonces el grupo está formado por $e,x,x^2, x^3$ que es conmutativo (en realidad cíclico)

• El grupo tiene un elemento de orden 3

Dejemos que $x$ sea el elemento de orden $3$ entonces el grupo está formado por $e,x,x^2$ y un elemento más $y$ .

Entonces $xy$ tiene que ser $e, x, x^2$ o $y$ y es trivial comprobar que ninguna de ellas es posible. Este caso es imposible.

• Cada elemento tiene un orden máximo de 2

Entonces, si $x,y \in G$ los elementos $x, y$ y $xy$ tienen el pedido 1 o 2. Tenemos $x^2=y^2=(xy)^2=e$ .

Entonces $$xxyy=x^2y^2=(xy)^2=xyxy \Rightarrow xy=yx$$

Answer 5

Hay exactamente dos grupos de orden $4$ : uno es cíclico, y por tanto abeliano, el otro no es cíclico, pero es abeliano. Para ver esto, te sugiero que te "ensucies" las manos con el ejercicio de abajo. Completarlo te ayudará a entender tanto las propiedades que debe satisfacer un grupo, como a aprender por qué todo orden- $4$ son necesariamente isomorfos a uno de los dos grupos abelianos de orden $4$ : $\mathbb Z_4$ y el Klein $4$ -grupo.

Ejercicio: Intenta completar la tabla de Cayley para un grupo con elementos $e, a, b, c$ Uno de los cuales, digamos $e$ debe ser la identidad. Sabemos que cada elemento debe aparecer una y sólo una vez en cada fila y en cada columna. Demostrar que no hay más ni menos que dos grupos de orden $4$ hasta el isomorfismo. Confirmar que cada uno es abeliano (las entradas serán simétricas respecto a la diagonal principal del $4\times 4$ Tabla de Cayley).