Ejemplo contrario a Mostow ' Teorema de la rigidez de s para 2-variedades.

Question

Estoy tratando de entender un contraejemplo al teorema de la rigidez de Mostow.

Aquí está el ejemplo de contador que quiero entender.

Tomar dos octágonos no isométrica con la suma de ángulos interiores iguales a $2\pi$. Luego forman dominios fundamentales para las superficies no-isométrica.

Mis preguntas son: ¿Cómo podemos visualizar estos dos octágonos hiperbólicas, ¿cómo podemos ver que los grupos fundamentales de estas superficies sería isomorfos?

Answer 1

Desde la propia pregunta ya ha sido contestada, esta respuesta va a agregar algunas referencias para el estudio adicional. Como José Zambrano señala en los comentarios de su respuesta, "local de la rigidez de la" falla de dos dimensiones hiperbólicas estructuras. Este es un indicio de la profunda, bella teoría de espacios de moduli de estructuras geométricas.

Proyecto de ley de Goldman encuesta de papel "Estructuras Geométricas y las Variedades de las Representaciones", es denso, pero legible. Para una más profunda, fundamental guía para estructuras geométricas --- y realmente, si usted está interesado en la geometría hiperbólica --- Thurston notas se pueden encontrar aquí. El capítulo cinco está dedicado al estudio de la flexibilidad y la rigidez de estructuras hiperbólicas.

Un buen lugar para empezar en la literatura en los locales de la rigidez es la Guirnalda de papel, lo que demuestra local subgrupo rigidez bajo ciertas condiciones. Un buen lugar para empezar en la deformación del espacio hiperbólico de las superficies es Hubbard Teichmuller Teoría.

Answer 2

Está usted familiarizado con la mitad superior del plano de modelo del plano hiperbólico? En este modelo, consideramos que la mitad superior del plano (como $\mathbb{R}^2$ con valores superiores a $0$); sin embargo, una geodésica ("línea") entre dos puntos es un círculo centrado en el eje de las x, o una línea vertical (dependiendo de si los puntos tienen diferentes coordenadas x). Usted puede construir no isométrica octágonos el uso de estos geodesics con ángulo interior de la suma de $2\pi$. Ahora, a partir de estos octágonos podemos construir dos, no isométrica superficies de género $2$ (conectado suma de dos tori). No debería ser demasiado difícil imaginar que estas superficies tendrán el grupo fundamental, ya que comparten el mismo número de "agujeros".