Prueba $\lim \limits_{n\to +\infty } \left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\text{e}^x$ .

Question

Sabía que $e^x=\lim \limits_{n\to+\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}$ . Pero nunca he visto su prueba. Así que traté de probarlo usando $\exp(\ln x)=\ln(\exp(x))=x$ . Esto es lo que he probado hasta ahora :

$$ \left(1+\frac{x}{n}\right) ^n=e^{n\ln(1+\frac{x}{n})}$$ $$\text{I'll now study just } {n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)}.$$$$ \Si esta función tiene como asíntota oblicua la recta y=x, entonces se demuestra la igualdad.

$$ n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right) = n\ln\left(\frac{n+x}{n}\right)$$

$$=n[\ln(n+x)-ln(n)]$$ $$=n\left[\int_1^{n}\frac{dt}{t}+\int_{n}^{x}\frac{dt}{t}-\int_1^{n}\frac{dt}{t}\right]$$ $$=n[\ln(x)-\ln(n)]$$

Pero no sé cómo demostrar que esta expresión tiene una asíntota oblicua $y=x$ . He pensado que si hay una asíntota oblicua como $n$ va al infinito, que para un enorme $n$ tenemos :

$$\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\approx \frac{x}{n}\approx0$$ Lo cual parece correcto pero podríamos tener cualquier otra función $f(x)$ , $\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\approx\frac{f(x)}{n}\approx 0$ . Lo cual no demuestra la asíntota oblicua porque $x$ es constante.

Entonces, ¿cómo se puede demostrar $e^x=\lim \limits_{n\to +\infty } \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ ? ¿Y en qué me he equivocado?

Answer 1

No sé si te ayuda, es sólo una sugerencia, si conoces el límite fundamental: $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$ Entonces tienes para $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ sustituyendo a $k=\frac{n}{x}$ obtenemos $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{kx}= \left(\lim_{k\to \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)^x =e^x$$

Answer 2

Comience con las funciones $$ f_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n. $$ Entonces $$ f'_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n-1} = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{-1}f_n(x) $$ Si tomamos el límite y llamamos $f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$ entonces $$ f'(x) = f(x) $$ y $f(0) = 1$ . Esta EDO de primer orden tiene una solución única $f(x) = e^x$ .

Answer 3

Empecemos por la parte de la pregunta "en qué me he equivocado". Donde usted escribió

$$=n\left[\int_1^{n}\frac{dt}{t}+\int_{n}^{x}\frac{dt}{t}-\int_1^{n}\frac{dt}{t}\right]$$

deberías haber escrito

$$=n\left[\int_1^{n}\frac{dt}{t}+\int_{n}^{n+x}\frac{dt}{t}-\int_1^{n}\frac{dt}{t}\right]$$

Nota, el límite superior correcto en la integración media es $n+x$ no sólo $x$ . Por lo demás, estabas en el buen camino. La integral corregida nos deja con

$$n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)=n\int_n^{n+x}{dt\over t}$$

Ahora, tan pronto como $n\gt x$ tenemos

$${1\over n+|x|}\le{1\over t}\le{1\over n-|x|}$$

en el intervalo $t\in[n-|x|,n+|x|]$ que ciertamente incluye el intervalo entre $n$ y $n+x$ . Si se tiene cuidado con los signos menos, se puede concluir que

$${nx\over n+x}\le n\int_n^{n+x}{dt\over t}\le{nx\over n-x}$$

y ahora se deduce fácilmente que

$$\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)=x$$

Answer 4

Si se permite utilizar expansiones de Taylor (potencia), esto es bastante sencillo:

$$n\log\left(1+\frac xn\right)=n\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k\,n^k}=n\left(\frac xn+\mathcal O\left(\frac1{n^2}\right)\right)=$$

$$=x+\mathcal O\left(\frac1n\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}x$$

Answer 5

Si ya conoces la función exponencial, probablemente también conozcas la desigualdad $e^x\ge 1+x$ . Entonces también

$$e^x=\frac1{e^{-x}}\le\frac1{1-x}=(1+x)\frac1{1-x^2}$$

Ahora $e^x=(e^{\frac xn})^n$ Así pues, para $n>|x|$

$$ \left(1+\tfrac xn\right)^n \le e^x \le \left(1+\tfrac{x}{n}\right)^n\frac1{\left(1-\tfrac{x^2}{n^2}\right)^n}\le\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^n\frac1{1-\tfrac{x^2}{n}} $$

La última desigualdad es por la desigualdad de Bernoulli.