La traza de una matriz de $A$ $A^2=I$

Question

Deje $A$ ser un complejo de valor matriz cuadrada con $A^2=I$ identidad. A continuación, es la traza de $A$ un valor real?

Answer 1

Sí. Además, debe ser un número entero.

Deje $v$ ser un vector propio de a, entonces:

$Av=\lambda v$

para algunos lambda. Multiplicar por Una, se obtiene:

$A^2v=Iv=v=\lambda^2v$

Lo que significa que cualquier autovalores $\lambda_n$ satisfacer $\lambda_n^2=1$ e lo $\lambda_n=\pm1$. Recordemos que la traza de una matriz es la suma de los autovalores de la matriz, que implica directamente el resultado.

Answer 2

De otra manera. $$A^2-I=0,$$ Desde un mínimo de polinomio de dividir el polinomio (por qué), entonces debe de ser $(x-1)(x+1)$ o $(x-1)$ o $(x+1)$.

por lo tanto, todos los valores propios son reales (incluso en el conjunto de $\{1,-1\}$) (por qué) y, por tanto, el resultado de la siguiente manera.

Answer 3

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\implies A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\implies$$

$$\begin{align}a^2+bc=1=d^2+bc\implies a=\pm d\end{align}$$

Pero también tenemos que

$$b(a+d)=0=c(a+d)\implies \begin{cases}a=-d\\or\\b=c=0\end{cases}$$

En el primer caso

$$a=-d\implies \text{Tr.}\,A=0$$

En el segundo caso:

$$b=c=0\implies a=\pm d=\pm 1\implies \;\text{Tr.}\,A=0\;\;or\;\;\text{Tr.}\,A=\pm2$$