En tratando de dar el OP primaria respuesta a esta pregunta, he hecho algunos más errores estúpidos. Me siento terrible por dar una respuesta incorrecta (en lugar de un complicado pero correcta).
He ideado una nueva prueba, y quería comprobarlo antes de editar mi respuesta. ¿Todo el mundo como el siguiente (bastante bien)?
Afirmación: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{x^x}}{x} = 1$$
Prueba: pasamos a la sesión del límite.
$$\log\left(\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{x^x}}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \log\left(\frac{x^{x^x}}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(x)}{\frac{1}{x^x - 1}}$$
Utilizamos L'Hospital de la regla, y reorganizar:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(x)}{\frac{1}{x^x - 1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-x^x(\log(x) + 1)}{(x^x - 1)^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{- (x^x - 1)^2}{x^{x}(x\log(x) + x)} = \left( \lim_{x \to 0^+} \frac{-(x^x - 1)}{x^x} \right) \left( \lim_{x \to 0^+} \frac{(x^x - 1)}{x\log(x) + x} \right) $$
a condición de que ambos de estos últimos existen límites; pero (de nuevo, con L'Hospital de la 2ª límite) vemos que
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{-(x^x - 1)}{x^x} = \frac{0}{1} = 0,$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{(x^x - 1)}{x\log(x) + x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^x(\log(x)+1)}{(1+ \log(x)) + (1)} = \left( \lim_{x \to 0^+} \frac{x^x(\log(x)+2)}{( \log(x)) + 2)} - \lim_{x \to 0^+} \frac{x^x}{(\log(x)) + 2)} \right) = 1,$$
y, por tanto,$\displaystyle\log\left(\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{x^x}}{x}\right) = 0$.
La evaluación de ambos lados por $\exp(x)$, por tanto, indica que el $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{x^x}}{x} = 1$.
