Desde mi manual de la solución fue mencionado en la pregunta, permítanme tratar de explicar lo que estaba pasando en mi cabeza. Obviamente, esto no es una solución óptima, pero si no sabes de que se cerró inmersiones se puede comprobar afín a nivel local (como yo no), entonces esto podría ser algo que usted puede hacer: comprobar cada una de las condiciones para un cierre de inmersión por separado.
Vamos $X = \operatorname{Spec} R$, $X' = \operatorname{Spec} A$, y $Y = \operatorname{Spec} B$ ser afín. Entonces, sabemos que en el diagrama de
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
B \otimes_R A @<<< A\\
@AAA @AAA \\
B @<<< R
\end{CD}$$
$R \to B$ surjective implica $A \to B \otimes_R A$ es surjective por el derecho de la exactitud del producto tensor.
Ahora lo que queremos hacer es utilizar la misma idea para mostrar la surjectivity del mapa $f^{\prime\#}$ sobre la estructura de las poleas, y para ello se puede comprobar surjectivity sobre los tallos. Por lo tanto, mediante el uso de pequeñas suficiente espacio libre en los barrios puede suponer $X,X',Y$ son afines y con la notación anterior, se desea mostrar $A_P \to (B \otimes_R A)_P$ es surjective para cada una de las $P \in \operatorname{Spec} A$, donde se considere el $B \otimes_R A$ $A$- módulo. Ahora la cosa fue que me decidí a localizar el diagrama de arriba, en el primer $P$: tienes razón en que me equivoqué al poner mi primer $P$ $\operatorname{Spec} R$ en lugar de $\operatorname{Spec} A$.
En su lugar, usted puede conseguir la misma conclusión notando $(B \otimes_R A)_P = B \otimes_R A \otimes_A A_P = B \otimes_R A_P$, por lo que queremos mostrar a $A_P \to B \otimes_R A_P$ es surjective. Pero $R \to B$ es surjective ya que es localmente surjective por supuesto que $Y \to X$ es un cerrado de inmersión, así que justo exactitud funciona de nuevo.
Ahora, la pregunta es cómo conseguir la topológico parte de ser un cerrado de inmersión. La prueba anterior combinado con el Ejercicio 2.18(c) muestra tenemos un homeomorphism con un subconjunto cerrado de $X'$ cuando asumiendo $X,X',Y$ son afines. Luego se puede jugar todo el encolado de juego como en la construcción de la fibra de producto para deducir que para arbitrario $X,X',Y$ tiene esta propiedad topológica.
En retrospectiva, esto no es una buena manera de ir!
EDIT: se me pidió carne fuera de la topológico parte de la prueba. Recordar que el programa de instalación: quiere demostrar que en el diagrama
$$\begin{CD}
Y \times_X X' @>f'>> X'\\
@VVV @VV{g}V \\
Y @>f>> X
\end{CD}$$
que si $f$ es un cerrado de inmersión, a continuación, $f'$ es un cerrado de inmersión. La prueba anterior muestra que el $f^{\prime\#}$ es de hecho surjective en cada tallo, y por lo tanto debemos mostrar $f'$ induce un homeomorphism entre el $Y \times_X X'$ y un subconjunto cerrado de $X'$. Creo que la parte más difícil es la prueba de que podemos reducir al caso en el $X,X',Y$ son afines, así que voy a estar haciendo esto a continuación. Seguimos EGAI, Cor. 4.2.4 y Prop. 4.3.1. Tenga en cuenta que la nueva edición tiene otra prueba.
Tenemos la primera nota que se cerró inmersiones son locales en el objetivo. La propiedad sobre los tallos es trivialmente local en el blanco, la propiedad", una de morfismos $f\colon Y \to X$ induce un homeomorphism entre el $Y$ y un subconjunto cerrado de $X$" es local en destino así. Para, supongamos $\{X_\lambda\}$ es un cover de $X$$Y_\lambda := f^{-1}(X_\lambda)$, de tal manera que $Y_\lambda \to X_\lambda$ induce un homeomorphism entre el $Y_\lambda$ $f(Y_\lambda)$ un subconjunto cerrado de $X_\lambda$. Por hipótesis, si $y \in Y$, en cada barrio de $y$ es asignado a un barrio de $f(y)$, e $f$ es inyectiva. Así, queda por demostrar que $f(Y)$ es en realidad cerrada en $X$. Pero es suficiente para mostrar $f(Y) \cap X_\lambda$ es cerrado en $X_\lambda$ por cada $\lambda$; pero esto es trivial desde $f(Y) \cap X_\lambda = f(Y_\lambda)$ es cerrado en $X_\lambda$.
Ahora, de vuelta a la reclamación en la mano. Primero vamos a reducir, para el caso en que $X$ es afín. Primero vamos a $\{X_\lambda\}$ ser afín a la cubierta de $X$, y deje $Y_\lambda := f^{-1}(X_\lambda)$$X'_\lambda := g^{-1}(X_\lambda)$. La restricción $f\rvert_{Y_\lambda}\colon Y_\lambda \to X_\lambda$ se cierra la inmersión, por lo tanto, si la propuesta tiene por $X$ afín, a continuación, $Y_\lambda \times_{X_\lambda} X'_\lambda \to X'_\lambda$ es un cerrado de inmersión. Ahora por Thm. 3.3, el Paso 7, el $Y_\lambda \times_{X_\lambda} X'_\lambda$ son canónicamente isomorfo a $Y \times_X X'_\lambda$; la de morfismos $Y_\lambda \times_{X_\lambda} X'_\lambda \to X'_\lambda$ es la misma que la restricción de $f'$$Y \times_X X'_\lambda$; puesto que el $X'_\lambda$ formar una tapa de $X'$, $f'$ es un cerrado de inmersión suponiendo que la proposición tiene por $X$ afín por el hecho de que cerraron las inmersiones son locales en el objetivo.
Ahora se reducen aún más para el caso de que $X'$ es afín; tenga en cuenta que $X$ afín implica $Y$ es afín, ya que es un circuito cerrado subscheme de $X$ por el Ejercicio 3.11(b). Pero si $\{X'_\mu\}$ es un afín abra la cubierta de $X'$, $Y \times_X X'_\mu \to X'_\mu$ es un cerrado de inmersión por el afín caso queríamos reducir, por tanto, $Y \times_X X' \to X'$ es un cerrado de inmersión cerrado desde entonces inmersiones son locales en el objetivo.
