Esto puede ser una pregunta tonta - pero hay interesantes resultados acerca de las invariantes: el tamaño mínimo de un abrir afín a cubrir? Por ejemplo, puede ser expresada en una forma agradable? Tal vez en algunas hipótesis adicionales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Considerar para la simplicidad suave proyectiva variedades definidas sobre $\mathbb C$. En este caso, el tamaño mínimo es igual a $n+1$ donde $n$ es la dimensión de la variedad.
Prueba. Deje $M^n$ ser tal variedad. Tome $n+1$ genérico muy amplio divisores $D_0,...,D_n$. A continuación, tales divisores no tienen un punto en común de intersección. Al mismo tiempo, para cualquier $i$ $M^n\setminus D_i$ es afín. Con el fin de mostrar que usted necesita $n+1$ abierto afín sub-variedades, el aviso de que el complemento de una abierta afín sub-variedad cerrada una variedad de dimensión $n-1$. Ahora procederemos por inducción.
Para proyectiva irreductible variedades exactamente el mismo razonamiento debe mantener, y puede ser generalizado más supongo
sickgemini
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2001
Creo que hay algunos comentarios relevantes en la obra de Roth y de Vakil.
Zameer Manji
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1213
De hecho, esta es una pregunta difícil, en general, creo. Por ejemplo, si $X$ es una subvariedad cerrada de ${\mathbb P}^n$, luego pedir el número mínimo de afín, se abre con una tapa el complemento de ${\mathbb P}^n\setminus X$ es lo mismo que preguntar por el número mínimo de hypersurfaces cuyo (conjunto teórico) de la intersección es igual a $X$. Creo que esta pregunta es abierta en general.
ScArcher2
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22118
El número mínimo de abrir afín sets necesarios para cubrir (el grueso del espacio de moduli de) $M_{g,n}$ es un famoso problema abierto. La conjetura, que es debido a Looijenga si recuerdo correctamente, es que el mínimo está dado por $g - \delta_{n,0}$ si $g > 1$. Demostrando esto sería en un golpe de dar una prueba de Díaz y teorema de diferentes teoremas de fuga en la intersección de los números.
mk.
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8276
Esto no es una respuesta completa por cualquier medio, pero aquí son los dos argumentos básicos. En primer lugar, usted tiene que cada proyectiva esquema que puede ser incrustado en $\mathbb{P}^n$ pueden ser cubiertos por $n+1$ abierto afines, a saber, el cerrado subschemes de los cuñados $U_i = \lbrace z_i \neq 0 \rbrace \cong \mathbb{A}^n$.
Para el límite inferior, creo que Cech-cohomologically: si $X$ pueden ser cubiertos por $k$ afín se abre, a continuación, $\check{H}^l(X) = 0$ por cada $l > k$. Si $X$ es Noetherian separados, entonces Cech cohomology coincide con la gavilla cohomology, lo que indica que usted necesita, al menos, $\max\lbrace l \;|\; H^l(X) \neq 0 \rbrace$ abierto afines para cubrir la misma.
