Cómo encontrar todos los máximos ideales de la $\mathbb Z_n?$

Question

Cómo encontrar todos los máximos ideales de la $\mathbb Z_n?$

Creo $(0)$ es el único ideal maximal de a $\mathbb Z_n$ si $a$ no es una unidad en un ideal maximal de a $\mathbb Z_n$ $(a,n)=1\implies\exists~u,v\in\mathbb Z$ tal que $au+nv=1\implies au=1~(\equiv\mod n)\implies 1\in$ el máximo ideal !

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Los ideales de $\mathbb{Z}_n$ son, en primer lugar, aditivo subgrupos de $\mathbb{Z}_n$. Estos sabemos que todos tienen la forma $\langle d\rangle$ donde $d$ divide $n$. Pero, como sabemos, el conjunto $\langle d\rangle$ es el ideal generado por a $d$. Tan sólo hemos demostrado que los ideales en $\mathbb{Z}_n$ son precisamente los conjuntos de la forma $\langle d\rangle$ donde $d$ divide $n$. Puesto que estamos interesados en la máxima ideales, y este concepto se define en términos de contención de los ideales de uno y otro, ahora debemos determinar cuando podemos tener $\langle d_1\rangle\subset \langle d_2\rangle$. Este es el caso si y sólo si $d_1 \in \langle d_2\rangle$.

Aquí está el principal resultado que estás buscando:Un ideal de a $I$ $\mathbb{Z}_n$ es maximal si y solo si $I = \langle p \rangle$ donde p es un primo de dividir n.

Answer 2

Sugerencia: La máxima ideales en $\mathbb Z_n$ son precisamente los ideales en $\mathbb Z$ correctamente contengan $(n)$, que es la máxima w.r.t. esta afección.

Answer 3

Me temo que no - de hecho, $a\in \mathbb{Z}_n$ no es una unidad si y sólo si $(a,n)>1$.

Answer 4

Trate de un ejemplo como $\mathbb Z_6$!