Una forma cuadrática

Question

Deje $q$ ser una potencia de 2. Deje $P$ el conjunto de los polinomios en $F_q [x]$ de grado d o menos. Deje $\mathbb{Z}$ ser el anillo de los números enteros. Para cualquier $f \in P$, vamos a $\psi(f)$ ser el número de distintas raíces de $f$$F_q$. Tenga en cuenta que $\psi(0) = q$.

Para cualquier mapa de $A$$P$$\mathbb{Z}$, se puede calcular la suma $$\sum_{f, g \in P} A(f)A(g) \psi (f+g).$$ Mi pregunta es: ¿cuál es el mínimo valor positivo de la suma?

Para $d=0,1$, el mínimo es de $q$. ¿Qué sucede si $d$ es mayor? Estoy especialmente interesado en el caso de que d=p/2-1.

Muchas gracias,

Qi

Answer 1

Para $d=q-1$, vamos a $f$ ser un polinomio de fuga en todos los puntos de $\mathbb F_q$ con la excepción de $0$. Vamos $f_1$ $f_2$ tal que $f_1+f_2=f$, y definir $A$ tal que $A(f_1)=1$ $A(f_2)=-1$ $A(g)=0$ para todos los otros $g$. Entonces, la única manera de sobrevivir son

$$A(f_1)A(f_2)\phi(f_1+f_2)+A(f_2)A(f_1)\phi(f_2+f_1)+A(f_1)^2\phi(2f_1)+A(f_2)^2\phi(2f_2).$$

Entonces, podemos calcular el valor de la

$$-\phi(f)+-\phi(f)+\phi(0)+\phi(0)=-(q-1)+-(q-1)+q+q=2.$$

Ahora, yo puedo demostrar que este es mínimo, pero esto demuestra que los $q$ no está mínimas para todos los $d$.

Voy a editar esta respuesta si se me ocurre nada para el $\frac{q}{2}-1$ de los casos.

EDIT: Cuando 2 se puede lograr, es mínimo, debido a que el valor debe ser un número par. La suma rompe a $\sum_{f\neq g} A(f)A(g)\phi(f+g)+\sum_f A(f)^2\phi(2f)$. El último es un múltiplo de a $q$, que es mucho, por lo que es suficiente para mostrar que la primera suma es par. Para todos los $f,g$, se obtienen dos términos, $A(f)A(g)\phi(f+g)$ $A(g)A(f)\phi(f+g)$ que son iguales, y, a igualdad de números enteros, la suma es par. Cada término en la primera suma es de esta forma, y por lo que la primera suma debe ser par. Así que tenemos una suma de números enteros, por lo que el número mínimo debe ser, por lo que el ejemplo anterior muestra que el 2 es el mínimo para $d=q-1$. De hecho, muestra que 2 es mínima para $d\geq q-1$, echándole en copias extra del hecho de $x-1$.

Todavía no han trabajado por $d$ menos de $q-1$, pero hay una prueba para un gran $d$.

Edit 2: De hecho, la misma línea de argumento muestra que para $d$ menos de $q$, podemos enlazado anteriormente por $2(q-d)$, por lo que para $d=q/2-1$, podemos enlazado anteriormente por $2q-2(q/2-1)=2q-q+2=q+2$, no sabemos todavía si este es fuerte.

Answer 2

(Inspirado en Charles Siegel respuesta) lo que usted puede hacer para $d=\frac{q}{2}$ caso es:

Dividir el $q$ elementos de $F_q/\{0\}$ en dos partes $\{\alpha_{1},\dots, \alpha_{\frac{q}{2}}\}$$\{\beta_1,\dots,\beta_{\frac{q}{2}-1}\}$, de modo que $\prod \alpha_i\neq \prod \beta_j$. Denotar $S(x)=\prod (x-\alpha_i)$$T(x)=\prod(x-\beta_j)$. Deje $r_1(x)+r_2(x)=S(x)+T(x)$ ser arbitraria e $f_1=S+r_1,f_2=S+r_2$. Ahora nos vamos a $A(f_1)=A(f_2)=1,A(r_1)=A(r_2)=-1$ y todos los demás $A(g)=0$. La forma cuadrática tiene el valor $$-2\psi(f_1+r_1)-2\psi(f_1+r_2)-2\psi(f_2+r_1)-2\psi(f_2+r_2)+4\psi(r_1+r_2)+4q=4$$

No sé si esto puede ser reducido a 2...

Answer 3

Espera, ¿hay alguna restricción adicional en Una? Porque parece como si no los hay, el positivo menor posibilidad siempre debe ser 1 para $d \geq 1$, ya que sólo se puede dar $A(X) = 1$ $A(g) = 0$ para todos los otros $g \in P$... (excepto en carácter 2)

(Esto sería un comentario, pero no tengo la rep. Supongo que la regla del destinado a evitar el spam bots?)

edit: doh, no veo el "vamos q ser una potencia de 2". En ese caso estoy razonablemente seguro de que siempre va a ser q; ciertamente no se puede ser más.