Dividir conjuntos infinitos en conjuntos disjuntos de igual cardinalidad

Question

Cuando se da un conjunto infinito $X$ me parece muy razonable que se pueda "dividir" en dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ de manera que los tres tengan la misma cardinalidad. Para los conjuntos contables, esto es bastante fácil, ya que entonces podemos indexar los elementos en $X$ por $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y podemos tomar $A$ como los elementos indexados por el par $n$ y $B$ los de impar. Por supuesto, la contabilidad no es necesaria per se; con un conjunto indexado por $\mathbb{R}$ También se puede dividir fácilmente. Donde me encuentro con dificultades es en un conjunto infinito general, donde este truco de indexación no parece funcionar, porque el conjunto de indexación no es lo suficientemente "conocido" (en el sentido de que no puedo hacer una elección fácil, como con $\mathbb{N}$ o $\mathbb{R}$ ).

Mi pregunta es si esto es posible para cualquier conjunto infinito $X$ .

Answer 1

En general, si $X$ es infinito, $\vert X \vert = \vert X \vert+\vert X \vert$ es decir, existe una biyección entre $X$ y $X\sqcup X$ , donde $X\sqcup X$ . denota la unión disjunta. Hay una inyección obvia de $X$ a $X\sqcup X$ y hay una inyección de $X\sqcup X$ a $X\times X$ . Desde $X$ es infinito, tenemos $\vert X \vert = \vert X\times X\vert$ (como consecuencia bien conocida de AC), y así $\vert X \vert = \vert X\sqcup X \vert$ . Por lo tanto, existe una biyección $f: X \to X\sqcup X$ . Ahora dejemos que $A = f^{-1}[\{0\}\times X], B = f^{-1}[\{1\}\times X]$ . Entonces $A,B$ son disjuntos y tienen la misma cardinalidad que $X$ y $X=A\cup B$ .