Nos reordenar el conjunto de a $x_1\ge x_2\ge\dots\ge x_k$. Si todos los $0\lt x_j\lt\sqrt{2}$
a continuación, la desigualdad
$$\tag{1}x_1+\dots+x_k\lt\dfrac{x_1^3+\dots+x_k^3}{2}$$
no se sostiene. Por lo tanto,$x_1\ge\sqrt{2}$. Si todos los $x_j\gt\dfrac{1}{2}$, entonces la desigualdad
$$\tag{2}x_1^2+\dots+x_k^2\lt\dfrac{x_1+\dots+x_k}{2}$$
no se sostiene. Por lo tanto, $0\lt x_k\le\dfrac{1}{2}$ y obtenemos $k\gt1$. Para $x_j\gt0$ tenemos $\dfrac{x_j}{2}-x_j^2\le\dfrac{1}{16}$, que aumenta el valor de $x_j\le\dfrac{1}{4}$ con el crecimiento de la $x_j$, el valor disminuye para $x_j\ge\dfrac{1}{4}$ con el crecimiento de la $x_j$ y la desigualdad $(2)$ no si $x_1\gt 2k$. Por lo tanto, los parámetros de $(x_j)_j$ son acotados.
Para cualquier solución de $\hat x_1,\dots,\hat x_k$ tenemos $\hat x_1\ge\sqrt{2}$ y por lo tanto, podemos aumentar el $\hat x_1$ y la desigualdad $(1)$ aún se mantiene. Pero en el incremento de la $\hat x_1$ vamos a conseguir, finalmente, una igualdad en la desigualdad de $(2)$ y por lo tanto no existe un conjunto $(\hat x_j)_j$ tal que
$$\tag{3}\hat x_1^2+\dots+\hat x_k^2=\dfrac{\hat x_1+\dots+\hat x_k}{2}$$
es cierto. Por lo tanto vamos a encontrar el máximo
$$\tag{4}f((x_j)_j):=f(x_1,\dots,x_k)=\sum_{j=1}^k\left\{\dfrac{x_j^3}{2}-x_j\right\}$$
bajo la condición de $(3)$
$$\tag{5}g((x_j)_j):=g(x_1,\dots,x_k)=\sum_{j=1}^k\left\{\dfrac{x_j}{2}-x_j^2\right\}=0.$$
Debido a que el $x_j$ están delimitadas y el conjunto definido por $(5)$ es cerrado, el máximo de la función de $f((x_j)_j)$ existe. Con el multiplicador de Lagrange $\lambda$ definimos
$$\tag{6}F((x_j)_j,\lambda):=f((x_j)_j)+\lambda g((x_j)_j).$$
El máximo puede sólo existe en los puntos donde las igualdades
$$\tag{7}\dfrac{\partial F((x_j)_j,\lambda)}{\partial x_j}=\dfrac{3}{2}x_j^2-1+\lambda\left(\dfrac{1}{2}-2x_j\right)=0$$
$$\tag{8}\dfrac{\partial F((x_j)_j,\lambda)}{\partial\lambda}=g((x_j)_j)=0$$
mantenga. Con $x_1\ge\sqrt{2}$ podemos determinar el multiplicador $\lambda$ a
$$\tag{9}\lambda=\dfrac{3x_1^2-2}{4x_1-1}.$$
Pero entonces los polinomios de grado $2$ para el resto de los parámetros $x_j$ $(7)$ le $x_1$ o un segundo valor. Ya sabemos que hay al menos dos valores, uno menos que $\dfrac{1}{2}$ y uno más de $\sqrt{2}$. Por lo tanto podemos reescribir las condiciones de $(4)$ $(5)$ a
$$\tag{10}f(x_1,x_2):=k_1\left\{\dfrac{x_1^3}{2}-x_1\right\}+k_2\left\{\dfrac{x_2^3}{2}-x_2\right\}$$
$$\tag{11}g(x_1,x_2):=k_1\left\{\dfrac{x_1}{2}-x_1^2\right\}+k_2\left\{\dfrac{x_2}{2}-x_2^2\right\}=0$$
con $1\le k_1\lt k$ $k_1+k_2=k$ y vamos a buscar el máximo para las funciones de la $f(x_1,x_2)$ bajo la condición de $g(x_1,x_2)=0$. La ecuación de $(11)$ da
$$\tag{12}x_2=h(x_1):=\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}-\dfrac{k_1}{k_2}\left\{x_1^2-\dfrac{x_1}{2}\right\}}.$$
Pero la ecuación de $(12)$ sólo da una solución para
$$\tag{13}\dfrac{1}{4}\left\{1-\sqrt{1+\dfrac{k_2}{k_1}}\right\}\le x_1\le\dfrac{1}{4}\left\{1+\sqrt{1+\dfrac{k_2}{k_1}}\right\}=:\alpha$$
cuando la raíz en $(12)$ no es negativo. Si $\alpha\ge\sqrt{2}$ tenemos que encontrar el máximo en el intervalo de $x_1\in[\sqrt{2},\alpha]$.
La función de $\dfrac{x^3}{2}-x$ disminuye para $0\le x\le\sqrt{{2 \over 3}}$ con el crecimiento de la $x$ y aumenta para $x\ge\sqrt{{2 \over 3}}$ con el crecimiento de la $x$. Si se toma el signo positivo en $(12)$ la función de $f(x_1,x_2)$ tiene un valor de menos de $f(\alpha,1/4)$ porque $\alpha\ge\sqrt{2}$ y la condición de $0\lt x_2\lt\dfrac{1}{2}$ para obtener una solución. El valor fue siempre inferior al $0$.
Para el signo negativo en $(12)$ tenemos que encontrar el máximo en el intervalo de $x_1\in[\sqrt{2},\alpha]$. Hacemos esto mediante la iteración. Empezamos con $\xi_n=\sqrt{2}$$n=0$:
- Primero determinamos $\delta_n=\dfrac{\xi_n+\alpha}{2}$.
- Si el valor de $f(\xi_n, h(\xi_n))$ es de más de $0$ hemos encontrado el menor valor $k$.
- De lo contrario, tendremos que comprobar si $f(\xi_n+\delta_n, h(\xi_n))$ es de menos de $0$. A continuación, el valor de $f(\xi_n+\delta_n, h(\xi_n+\delta_n))$ también debe ser menos de $0$ porque $x_2=h(\xi_n+\delta_n)\ge h(\xi_n)$ $\delta_n\gt 0$ (ver $(12)$) y la función de $f(x_1,x_2)$ disminuye para $x_2\le\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ con el crecimiento de la $x_2$. A continuación, se reinicia el proceso con $\xi_{n+1}=\xi_n+\delta_n$$1$.
- De lo contrario, tendremos que comprobar si el valor de $f(\xi_n+\delta_n, h(\xi_n+\delta_n))$ es de más de $0$. Entonces hemos encontrado el más pequeño de k.
- Si todas las pruebas fallidas reiniciamos en $3$ con la mitad del valor de $\delta_{n}$.
La iteración o falla de una combinación $k$, $k_1$ o hemos encontrado el menor valor $k$. En el caso de que la función de $f$ tiene un máximo de $0$ no se producen. En caso de que la iteración no iba a funcionar.
Comenzando con $k=2$ y se ejecuta a través de los valores de $1\le k1\lt k$ el proceso termina con $k=516$, $k_1=1$, $x_1=5.13931983067114$, $x_2=0.122708944529751$.
