Una aplicación del principio de "casillero" en el análisis

Question

El principio del palomar se indica aquí.

He encontrado en un libro la siguiente aplicación:

Podemos obtener de la naturaleza de la serie $\sum \frac 1{n^2\sin^2(n)}$ desde el principio del palomar.

El problema es que el libro no da ninguna indicación en la forma de obtener este resultado desde el principio del palomar. Ni siquiera sé si esta serie diverge o converge.

¿Sabe usted cómo se debe proceder? ¿Tienes alguna referencia de donde esta se hace?

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Tal vez este es un duplicado, pero no lo creo ya que no he encontrado nada aquí.

Answer 1

El principio del palomar puede ser usado para demostrar que existen infinitos números enteros $n$ $m$ tal que

$$\left|\pi - \frac{n}{m} \right| < \frac{1}{m^2} \\ \implies |n - m \pi| < \frac{1}{m} \\ \implies\frac{n}{m} < \pi + \frac{1}{m^2} < \pi+1$$

Una prueba de ello básica Diophantine aproximación utilizando el principio del palomar se da en la p. 42 de http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/niven.pdf

Por lo tanto,

$$\left\lvert \sin n \right\rvert = \left\lvert\sin(n - m \pi)\right\rvert \leqslant |n - m \pi| < \frac{1}{m} = \frac{1}{n}\frac{n}{m} < \frac{1 + \pi}{n}.$$

Esto implica que para una infinidad de $n$ hemos

$$\frac{1}{n^2 \left\lvert\sin n\right\rvert^2} > \frac{1}{(1+ \pi)^2},$$

y las series divergentes.