Cuboide más cercano a un cubo

Question

El cubo más cercano a un cubo.

Al responder a esta pregunta, ladrillos de euler: ¿cómo calcularlos? Me di cuenta de que uno de los resultados no estaba muy lejos de tener forma de cubo, y me pregunté si había un cubo más cúbico.

$$x^2+y^2=u^2$$ $$y^2+z^2=v^2$$ $$x^2+z^2=w^2$$

$x,y,z,u,v,w$ enteros positivos, y $x<y<z$

El resultado que observé fue $(240,252,275)$ y decidió utilizar $\alpha=\large \frac{z^2}{xy}$ como medida de cercanía a un cubo. En $(240,252,275)$ tenemos $\alpha=1.25041336$

Diagrama: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_brick#/media/File:Euler_brick_examples.svg

A pesar de un buen cálculo, sólo puedo encontrar un cubo cúbico más: $$(1008,1100,1155)$$

Esto ha $\alpha=1.203125$ y se produce a partir del siguiente generador de soluciones utilizando $(240,252,275)$ , "Si $(x,y,z)$ es una solución, entonces $(xy,xz,yz)$ también es una solución".

Mis preguntas. ¿Existe una mejor medida de cercanía a un cubo que $\alpha= \large\frac{z^2}{xy}$ ?

¿Existe una solución mejor que $(1008,1100,1155)$ ?

Gracias.

Answer 1

Respuesta a la $2$ n pregunta: sí Hay cuboides cúbicos con bastante menos medida.

Si utiliza la medida $\alpha = \dfrac{z^2}{xy}$ entonces el mejor que se conoce actualmente para mí (ver la tabla de abajo) tiene $\alpha \approx \color{red}{1.0352}$ .

He aquí algunos ejemplos dignos de mención:

\begin{array}{|r|c|} \hline (x,y,z) & \alpha \\ \hline (2\:278\:100,\; 2\:423\:952,\; 2\:564\:661) & \approx 1.191 \\ (4\:160\:772,\; 4\:540\:525,\; 4\:717\:440) & \approx 1.178 \\ (14\:358\:336,\; 15\:041\:873,\; 15\:526\:440) & \approx 1.116 \\ (43\:875\:188,\; 44\:127\:291,\; 46\:181\:520) & \approx 1.102 \\ (5\:122\:780,\; 5\:245\:200,\; 5\:288\:547) & \approx 1.0409 \\ (15\:301\:440,\; 15\:748\:920,\; 15\:798\:809) & \approx 1.0358 \\ (108\:192\:528,\; 109\:141\:700,\; 110\:562\:771) & \approx 1.0352 \\ \hline \end{array}