Volumen de $E=\{5x^8 \le y \le 7x^8; 2y^5 \le z \le 3y^5; z^7 \le x \le 6z^7\}$ .

Question

Me encuentro con el siguiente problema:

Calcular el volumen de $E=\{5x^8 \le y \le 7x^8; 2y^5 \le z \le 3y^5; z^7 \le x \le 6z^7\}$ .

Mi progreso:

Es fácil ver que $x,y,z \ge 0$ . Por lo tanto puedo sumar todas las desigualdades y después de un álgebra simple obtener lo siguiente: $$5x^8 + 2y^5+z^7 \le x+y+z \le 7x^8 + 3y^5+6x^7$$ Actualización: como fue señalado por A.. sumando desigualdades no funciona porque diferentes conjuntos pueden dar las mismas desigualdades. Así que parece que debo resolver o al menos obtener algún tipo de información para la integración directamente del sistema de alguna manera.

¿Alguna pista?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Una pista: el conjunto viene dado por $$\begin{cases} 5\le\frac{y}{x^8}\le 7,\\ 2\le\frac{z}{y^5}\le 3,\\ 1\le\frac{x}{z^7}\le 6 \end{cases}\quad\rightarrow\quad\text{substitution}\quad\rightarrow\quad \begin{cases} 5\le u\le 7,\\ 2\le v\le 3,\\ 1\le w\le 6 \end{cases}.$$