Probabilidad de que estos personajes ganan un juego.

Question

Tengo 11 caracteres, $[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]$, y todos ellos juegan un juego.

Descripción Del Juego:

Todos los jugadores están de pie en la línea de salida $n$ espacios, lejos de la línea de meta. Dos justo dados son lanzados. Los dos resultados en cada uno de los dados se condensa, y se da un resultado que es igual a los nombres de uno de los personajes. El propietario de ese número se mueve hacia adelante un espacio. El ganador es el personaje que llega a la línea de meta en primer lugar.

Por ejemplo, en un turno, los dados da un resultado de $[3,4]$. Desde $3+4=7$, el carácter 7 avance.

Si los dados da $[6,2]$, el carácter 8avance.

¿Cuáles son las probabilidades de que cada personaje gana?

Básicamente quiero que las posibilidades de ganar para todos los personajes, con respecto a otros jugadores. Por respeto a otros jugadores, me refiero a que uno puede ganar es más rápido que otro. Y quiero que las probabilidades de ser en términos de $n$, por ejemplo, $P(x) = \frac{1}{36^{n}}$

Imágenes de un estado midgame:

Aquí, el carácter 6ha ganado la partida, y en este caso, $n=9$, ya que es el número de espacios que un personaje se mueva en el fin de ganar.

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Fuentes:

• El juego se originó en mi escuela
• El estado de la imagen ejemplo fue creado por mí utilizando Microsoft Excel
• La pregunta es un reto planteado por mí mismo. Necesito ayuda, básicamente.

Answer 1

Deje $p_k$ la probabilidad de que un rollo $k$. Por ejemplo, $p_7=6/36$. Supongo que usted es capaz de calcular estos.

Sólo estamos interesados en un pares de probabilidad de ganar, así que vamos a calcular la probabilidad de que $A \in \{2,\dots,12\}$ gana vs $B \in \{2,\dots,12\}$. (Por ejemplo, $A=7, B=6$.) Al analizar este juego, nosotros sólo nos preocupamos de los rollos que surgen $A$$B$, todos los demás pueden ser ignorados. Vamos a definir las probabilidades condicionales determinado $A$ o $B$ fue rodada. $$ r_A = \frac{p_A}{p_A+p_B} \qquad r_B = \frac{p_B}{p_A+p_B} $$

Definir $f(u, v)$ como la probabilidad de que $A$ gana al $A$ $u$ pasos de distancia de la meta, y $B$ $v$ pasos de distancia de la meta. El objetivo es calcular el $f(n, n)$.

Considera que el estado es $(u,v)$. Si hacemos rodar un $A$, podemos ir a estado $(u-1,v)$. Si hacemos rodar un $B$, podemos ir a estado $(u,v-1)$. Por lo tanto, podemos escribir la siguiente relación para $f$: $$ f(u,v) = \begin{cases} r_Af(u-1,v)+r_Bf(u,v-1) & \text{if } u \geq 1, v \geq 1 \\ 1 & \text{if } u = 0 \\ 0 & \text{if } v = 0 \end{casos} $$ Por lo que el objetivo ahora es resolver esta relación de recurrencia. Lo resuelto por escrito para valores bajos de $u$$v$. (Probablemente la más inteligente manera de hacerlo.) $$ f(u,v) = \begin{cases} r_A^u\left[ 1 + \sum_{i=1}^{v-1}\left[ \left(\prod_{j=0}^{i-1} (u+j)\right)\frac{1}{i!}r_B^i \right] \right] & \text{if } u \geq 0, v \geq 2 \\ r_A^u & \text{if } u \geq 0, v = 1 \\ 0 & \text{if } u \geq 0, v = 0 \\ \end{casos} $$ Usted puede comprobar esto por inducción. Yo se lo dejo como ejercicio para el lector.

Aquí está la tabla de probabilidades para $A=7, B=6$. $u$ va a través de las columnas, $v$ va abajo de las filas. $f(n,n)$ están en las diagonales. Por ejemplo, $A$ tiene un 72% de probabilidad de ganar al $n=20$.

Trazado $f(n,n)$ podemos ver que como era de esperar, la probabilidad de que $7$ gana va a 1.

Answer 2

La probabilidad de cada personaje para mover un espacio hacia la línea de llegada es diferente de los demás.
La probabilidad de 2 a mover es $1/36$ 3$2/36$ 4$3/36$ 5$4/36$ 6$5/36$ 7$6/36$ 8$5/36$ 9$4/36$ 10$3/36$ 11 $2/36$ 12 $1/36$.
Ahora ,para simplificar considerar que sólo hay 2, 3, 4 caracteres.
Considerar que estamos hallar la probabilidad de que 2 de los premios : P(2 victorias) = $\sum_{0}^{n}$ { $(1/36)^n$ * $(2/36)^i$ * $(3/36)^j$ }
Donde 'i' y 'j' varía de 0 a n como el representado por sigma.
Ahora, usted puede ampliar esta de acuerdo con su necesidad.
Esta es mi primera respuesta. Por favor, ayudar a mejorar. Gracias!

Answer 3

Dicen que un caballo gana en 9 jugadas, como en el diagrama. Caballo 7 se mueve 6/36 del tiempo.

Si el Caballo de 7 victorias en la jugada 40, luego se trasladó en 8 de los primeros 39 mueve; y en la jugada 40. También, nadie ganó moviendo en nueve de los otros 31 movimientos.

'Nadie ganó' correctamente, usted necesita para ejecutar un diez carreras de caballos, de pretender que el Caballo 7 no estaba allí.
Para obtener las probabilidades de las diez carreras de caballos, usted necesita saber las probabilidades para todos los nueve carreras de caballos ... pero antes de que usted necesita las ocho carreras de caballos ...

Hay 2047 diferentes carreras para llegar directamente, incluyendo 11 de un caballo de carreras (fácil), 55 de dos carreras de caballos y uno de once carreras de caballos.

No veo cómo ejecutar el algoritmo en Excel, pero me escribió un programa en Matlab. Me dieron estos resultados:

$$\begin{array}{c|llllll} n&H7&H6,H8&H5,H9&H4,H10&H3,H11&H2,H12\\ 1 & 0.167 & 0.139 & 0.111 & 0.0833 & 0.0556 & 0.0278\\ 2 & 0.221 & 0.164 & 0.113 & 0.0691 & 0.0337 & 0.00936\\ 4 & 0.293 & 0.187 & 0.105 & 0.0467 & 0.0136 & 0.0013\\ 8 & 0.382 & 0.201 & 0.083 & 0.0226 & 0.00266 & 3.44e-05\\ 16 & 0.489 & 0.197 & 0.0518 & 0.00612 & 0.000137 & 3.69e-08\\ 32 & 0.613 & 0.171 & 0.0217 & 0.00057 & 5.28e-07 & -\\ 64 & 0.747 & 0.122 & 0.00443 & 6.79e-06 & - & -\\ 128 & 0.874 & 0.0629 & 0.000234 & 1.42e-09 & - & -\\ 256 & 0.964 & 0.0182 & 8.8e-07 & - & - & -\\ 512 & 0.997 & 0.00173 & - & - & - & - \end{array}$$ Como de costumbre, $8.8e-07$ $8.8*10^{-7}=0.00000088$

Por ejemplo, para ganar una carrera 128, habrá cerca de $6\times128=768$ se mueve. De estos, el Caballo 7 tienden a obtener entre el 118 y 138 se mueve, mientras que los dos Caballos de 6 y 8 entre 96 y 116 se mueve. Existe una posibilidad de que a pesar de que 6 o 8 - o uno de los otros - beats Caballo 7.