Diagonalidad de matrices de 2×2 con valores propios repetidos

Question

En general, para todas las matrices reales (y complejas) de 2 por 2, ¿es cierto que si hay un valor propio repetido (por lo que todos los valores propios son iguales), entonces concluimos que esa matriz es no diagonalizable?

En general, para una matriz de n por n, si TODOS los valores propios se repiten, ¿significa esto que la matriz es no diagonalizable? ¿La prueba tiene que ver con que si hubiera una matriz diagonal, entonces sería un múltiplo de la matriz identidad de n por n, por lo que no hay ninguna matriz invertible que satisfaga la definición de similitud (diagonalizabilidad)?

Answer 1

No, hay muchas matrices con valores propios repetidos que son diagonalizables. El ejemplo más sencillo es $$ A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}. $$ La matriz de identidad tiene $1$ como un doble valor propio y es (ya) diagonal. Si se quiere escribir esto en forma diagonalizada, se puede escribir $$ A=I^{-1}AI=I^{-1}II $$ desde $A$ es una matriz diagonal.

En general, $2\times 2$ matrices con valor propio repetido $\lambda$ son diagonalizables si y sólo si el eigespacio correspondiente a $\lambda$ es bidimensional. En otras palabras, si $$ A-\lambda I=\begin{bmatrix}a-\lambda&b\\c&d-\lambda\end{bmatrix} $$ tiene un espacio nulo bidimensional. Utilizando el teorema de nulidad de rango, obtenemos que esto ocurre exactamente cuando la matriz tiene $0$ pivotes. Si $A-\lambda I$ tiene alguna entrada distinta de cero, entonces tendrá un pivote. Por lo tanto, a $2\times 2$ matriz con valores propios repetidos es diagonalizable si y sólo si es $\lambda I$ .

Si $B$ es un $n\times n$ matriz, todos cuyos valores propios son $\lambda$ un resultado similar. Una forma más sutil de demostrarlo es que si $B$ es diagonalizable, entonces $$ B=P^{-1}(\lambda I)P=\lambda P^{-1}IP=\lambda I, $$ donde P es una matriz invertible (que cambia de base).

Por lo tanto, la única $n\times n$ Las matrices con todos los valores propios iguales y que son diagonalizables son múltiplos de la identidad.

Si sólo algunos de $B$ tienen multiplicidad, entonces la situación se complica y hay que calcular las dimensiones de todos los espacios propios.

Como comentan los otros carteles, hay matrices diagonales que no son múltiplos de la identidad, por ejemplo $$ \begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix} $$ y si todos los valores propios de una matriz son distintos, entonces la matriz es automáticamente diagonalizable, pero hay muchos casos en los que una matriz es diagonalizable, pero tiene valores propios repetidos.

Answer 2

Para ser más preciso que las respuestas anteriores: Los valores propios repetidos son necesario pero no suficiente para que una matriz no sea diagonalizable.

Por ejemplo, nunca se puede tener una matriz de 2x2 con dos diferentes valores propios que es no diagonalizable.

En otras palabras: en cuanto todos los valores propios son distintos entonces podemos ser seguro para poder diagonalizarlo.

Answer 3

Una matriz con valores propios repetidos puede se diagonalice. Piensa en la matriz identidad. Todos sus valores propios son iguales a uno, pero existe una base (cualquier base) en la que se expresa como una matriz diagonal.

Además, no todas las matrices diagonales son múltiplos de la identidad. Ejemplo:

$$ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} $$