Interesante convergencia en sumas divisor hasta $10^k$

Question

Deje $S(k)$ ser la suma de los divisores en cada una de las $1, 2, ..., 10^k$.

Por ejemplo, $$\begin{align}S(1) &= 1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 12 + 8 + 15 + 3 + 17 \\&= 87\end{align}$$

donde cada una de las $1 + 3 + ... + 17$ son la suma de los divisores de a $1, 2, ..., 10^1$ respectivamente.

Me di cuenta de que como $k$ aumenta, la expansión decimal de $S(k)$ le parece a "converger" a algún número. Para los primeros valores de $k$, calculado utilizando algunos adecuado script, tenemos

$$\begin{align} S(1) &=87\\ S(2) &=8299\\ S(3) &= 823081\\ ...\\ S(10) &= 82246703352400266400\\ ...\\ S(15) &=822467033424114009326065894639\\ S(16) &=82246703342411333689227187822414\\ S(17) &= 8224670334241132270081671519064067\\ \end{align}$$

Curiosamente, sin embargo, fuera de las bases de la $b$ del límite superior de potencia $b^k$ $S(k)$ que he probado, sólo $b = 10$ (que se usa en esta pregunta) parece coherente, expansiones decimales.

Si tomamos la expansión decimal de $S(k)$ como una parte fraccionaria y dejar que este ser $S'(k)$, tenemos

$$S'(\infty) = 0.82246703342411...$$

Pero hey!

$$\frac{\pi^2}{12} = 0.82246703342411...$$

Así que mi pregunta es esta : Es el límite, de hecho, $$S'(\infty) = \frac{\pi^2}{12}$$ ?

Answer 1

Esto es todo debido al hecho de que \frac{1}{x}\sum_{n\le $$x} \sigma(n) = \frac{\pi^2}{12}x + O(\log x).$$ Consulte estas notas por Carl Pomerance (ecuación (5) si estás en un apuro).