Ostrogradsky-método de Hermite.
La integración de una función racional $P(x)/Q(x)$ sin descomposición en fracciones parciales y sin encontrar las raíces del denominador, podemos utilizar el Ostrogradski-método de Hermite, que generaliza su ansatz
$$ \int\frac{5x^3+3x-1}{(x^3+3x+1)^3}dx= \frac{ax+b}{(x^3+3x+1)^2}+C.$$
Usted puede encontrar una descripción de este método en la sección 2.1 de Gradshteyn y Ryzhik de la Tabla de Integrales, Series y Productos, donde la identidad de $(2)$ fuelle es dado. La fórmula $(1)$ aparece también en el Ostrogradsky la página de la Wikipedia.
Suponga que $\deg P(x)<\deg $ $Q(x)$. Existen polinomios $P_{1}(x)$, $P_{2}(x)$, $Q_{1}(x)$ y $Q_{2}(x)$, $Q_{1}(x)=\gcd \left\{ Q(x), Q^{\prime }(x)\right\}$ y $Q_{2}(x)=Q(x)/Q_{1}(x)$, $\deg P_{1}(x)<\deg Q_{1}(x)$, $\deg P_{2}(x)<\deg Q_{2}(x)$, tal que
\begin{equation}
\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}+\int \frac{P_{2}(x)}{
Q_{2}(x)}dx.\tag{1}
\end{equation}
Entonces
\begin{eqnarray*}
P(x) &=&\frac{P_{1}^{\prime }(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}^{\prime }(x)}{\left\{
Q_{1}(x)\right\} ^{2}}Q(x)+\frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}Q(x) \\
&=&P_{1}^{\prime }(x)\frac{Q(x)}{Q_{1}(x)}-P_{1}(x)\frac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}\frac{Q(x)}{Q_{1}(x)}+P_{2}(x)\frac{Q(x)}{Q_{2}(x)} \\
&=&P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ \frac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)\right\} +P_{2}(x)Q_{1}(x)
\end{eqnarray*}
o
\begin{equation}
P(x)=P_{1}^{\prime }(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)\left\{ T(x)-Q_{2}^{\prime }(x)\right\}+P_{2}(x)Q_{1}(x),\tag{2}
\end{equation}
con $T(x)=Q^{\prime }(x)/Q_{1}(x)$, porque a partir de
\begin{equation*}
Q^{\prime }(x)=\left\{ Q_{1}(x)Q_{2}(x)\right\} ^{\prime }=Q_{1}^{\prime
}(x)Q_{2}(x)+Q_{1}(x)Q_{2}^{\prime }(x)=T(x)Q_{1}(x)
\end{ecuación*}
obtenemos
\begin{equation*}
\frac{Q_{1}^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}Q_{2}(x)+Q_{2}^{\prime }(x)=T(x).
\end{ecuación*}
Para encontrar los coeficientes de los polinomios $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ equiparar
los coeficientes de poderes de $x$.
Aplicación a
\begin{equation*}
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}.
\end{ecuación*}
Desde
\begin{eqnarray*}
Q(x) &=&\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3} \\
Q^{\prime }(x) &=&9\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}\left( x^{2}+1\right) \\
Q_{1}(x) &=&\gcd \left\{ Q(x),Q^{\prime }(x)\right\} =\left(
x^{3}+3x+1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}
y
\begin{equation*}
Q_{2}(x)=\frac{Q(x)}{Q_{1}(x)}=\frac{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}{\left(
x^{3}+3x+1\right) ^{2}}=x^{3}+3x+1,
\end{ecuación*}
escribimos
\begin{equation}
\int \frac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}dx=\frac{P_{1}(x)}{
\left( x^{3}+3x+1\right) ^{2}}+\int \frac{P_{2}(x)}{x^{3}+3x+1}dx,\tag{3}
\end{equation}
donde
\begin{eqnarray*}
P_{1}(x) &=&Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F \\
P_{2}(x) &=&Fx^{2}+Gx+H.
\end{eqnarray*}
La identidad de $(2)$, con
\begin{equation*}
T(x)=\frac{Q^{\prime }(x)}{Q_{1}(x)}=9\left( x^{2}+1\right),
\end{ecuación*}
los rendimientos
\begin{eqnarray*}
5x^{3}+3x-1 &=&\left( 5Ax^{4}+4Bx^{3}+3Cx^{2}+2Dx+E\right) \left(
x^{3}+3x+1\right) \\
&&-\left( Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F\right) \left\{ 9\left(
x^{2}+1\right) -\left( 3x^{2}+3\right) \right\} \\
&&+\left( Gx^{2}+Hx+I\right) \left( x^{3}+3x+1\right) ^{2} \\
&=&Gx^{8}+\left( -A+H\right) x^{7}+\left( -2B+6G+I\right) x^{6} \\
&&+\left( 6H-3C+2G+9A\right) x^{5} \\
&&+\left( -4D+6B+9G+6I+2H+5A\right) x^{4} \\
&&+\left( 3C-5E+4B+6G+9H+2I\right) x^{3} \\
&&+\left( 3C-6F+G+6H+9I\right) x^{2} \\
&&+\left( 6I+H+2D-3E\right) x+\left( E+I-6F\right).
\end{eqnarray*}
Por igualando coeficientes encontramos
\begin{equation*}
A=B=C=D=F=G=H=I=0,E=-1.\tag{4}
\end{ecuación*}
En consecuencia,
\begin{eqnarray*}
P_1(x) &=&-x \\
P_2(x) &=&0
\end{eqnarray*}
y por último,
\begin{equation*}
\int \frac{5x^{3}+3x-1}{\left( x^{3}+3x+1\right) ^{3}}dx=-\frac{x}{\left(
x^{3}+3x+1\right) ^{2}}+C,\tag{5}
\end{ecuación*}
como se evaluó por usted.
