Ecuación diferencial: Una pregunta, dos métodos, ambos como resultado respuestas diferentes

Question

Una función continua $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que satisface la ecuación diferencial $$f(x)=\left(1+x^2\right)\left(1+\int_{0}^{x} \frac{f^2(t)}{1+t^2} dt\right)$$ A continuación, encontrará el valor de $f(1)$. Las opciones son:

$a) -6$

$b) -4$

$c) -2$

$d) ~\text{None}$

Ahora, ya que esta pregunta es MCQ tipo, me acaba de rechazar las opciones de la siguiente manera:

$$f(1)=2\left(1+\int_{0}^{1} \frac{f^2(t)}{1+t^2} dt\right)$$ desde $$\frac{f^2(t)}{1+t^2}\ge0$$ Hence $f(1) \gt 0$

Rechazando las opciones de $a, b$, e $c$, he marcado la opción de $d$.

Pero para mi sorpresa, la respuesta fue la opción de $a$, es decir, $-6$

Su solución va como sigue:

$$\frac{f(x)}{ 1+x^2 }= 1+\int_{0}^{x} \frac{f^2(t)}{1+t^2} dt \implies \frac{dy}{dx}=\left( \frac{2x}{1+x^2}\right)y+y^2$$

$ \text{Let}~~ \dfrac{-1}{y}=t$

$$\therefore ~~f(x)=\frac{-3(1+x^2)}{x^3+3x-3}~ \text{(How? I don't know!)}~ \implies f(1)=-6$$

Por favor alguien puede explicar qué está pasando aquí? (El método que está mal y por qué?) Es más que probable que están haciendo algo mal. Sé que esta es probablemente la mala formulación de la pregunta, pero ambos métodos parecen correcta para mí.

Gracias!

Answer 1

En sentido estricto, como $1$ no pertenece a la máxima dominio de la solución a través de $(0,1)$, no hay ningún valor de la función $f(1)$.

El denominador $x^3+3x-3$ formal de la solución tiene valor $-3$ $x=0$ y el valor de $1$$x=1$, por lo tanto una raíz dentro de ese intervalo, de modo que la función tiene un polo en el intervalo. La solución de la ODA resp. de la ecuación integral termina en el polo.

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Para la solución me gustaría sustituto $g(x)=\frac{f(x)}{1+x^2}$, de modo que $$ g(x)=1+\int_0^x(1+t^2)g(t)^2dt $$ que es equivalente a la ecuación diferencial IVP $$ g'(x)=(1+x^2)g(x)^2,\;g(0)=1 $$ con la solución $$ -\frac1{g(x)}+\frac1{g(0)}=x+\frac13x^3 $$ que me parece un poco más directa que la solución propuesta.