"Un rompecabezas de dos sobres"

Question

Este es el Problema de 1,25 de Tsitsiklis, Bertsekas, Introducción a la Probabilidad, 2ª edición.

Le entregó dos sobres, y usted sabe que cada una contiene una entero positivo cantidad de dólares y que las dos cantidades son diferentes. Los valores de estas dos cantidades son modelados como constantes que se desconocido. Sin saber lo que las cantidades son, selecciona al azar uno de los dos sobres, y después de mirar a la cantidad en el interior, puede cambiar los sobres, si lo desea. Un amigo afirma que el siguiente estrategia aumentará por encima de $1/2$ su probabilidad de acabar con el sobre con la mayor cantidad:

Lanza una moneda repetidamente. Deje $X$ ser igual a $1/2$ más el número de lanzamientos necesarios para obtener los jefes por primera vez, y si el interruptor de cantidad en el sobre que se ha seleccionado es menor que el valor de $X$ . Es tu amigo, ¿correcto?

La respuesta dada en el manual de la solución de reclamos que este hecho ayuda, y que la probabilidad de conseguir el mejor envolvente está dado por $$p = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P(B)$$

donde $B$ es el evento que $a<X<b$,$a,b$, siendo la menor y la mayor cantidad de dólares, respectivamente.

Yo no compro esta solución por el siguiente motivo: lanzar una moneda no tiene nada que ver con el contenido de los sobres. No obtener ninguna información por hacerlo. Usted puede contar la cantidad de hojas en un árbol cercano lugar y el uso que de $X$.

Del mismo modo, la apertura del primer sobre, también te da información útil acerca de la ordenación de la relación entre el$a$$b$, por lo que seguramente esa es otra cortina de humo. Incluso si usted se olvida de tirar la moneda, la probabilidad de "ganar" todavía es $1/2$, el canje o no canje.

Supongo que tal vez el problema es en la interpretación de la frase siguiente: "Los valores de estas dos cantidades son modelados como constantes que son desconocidos". Aprovecho para decir que son sólo dos al azar y de forma independiente de los números que se generan.

Estoy fuera de mi mente? Seguramente la solución manual es malo.

Answer 1

El manual está a la derecha. La moneda gira acaba de generar el número de $X$. Si ambos sobres que contienen los números menores que $X$, usted tiene una elección al azar entre los sobres, porque usted va a tomar el segundo. Si ambos sobres que contienen los números mayores que $X$, usted tiene una elección al azar debido a que usted va a tomar la primera. Si uno es mayor que $X$ y la otra es menor, seguramente va a elegir la correcta, así que si hay alguna probabilidad de que esta situación se obtiene tiene una estrictamente mayor que $\frac 12$ oportunidad de recoger el sobre correcto. Usted puede generar $X$ cualquier manera que usted desea con el mismo efecto como el tiempo que tiene probabilidad positiva de ser en cada intervalo de $(k,k+1)$. El argumento de que tácitamente se asume que es posible que uno está por debajo de $X$ y uno está por encima de $X$. La razón para hacer la moneda flipping es conseguir una distribución donde todos los productos naturales más $\frac 12$ tener alguna posibilidad de ser elegido. Esto garantiza que hay alguna posibilidad de $X$ está entre los dos números.

Answer 2

Realmente parece lógico para mí.

La posibilidad de que usted va a cambiar es más grande de la envoltura mal.

Answer 3

Tan largo como $X$ tiene una probabilidad positiva de ser entre los valores de los dos sobres, que puede ayudar a mejorar su toma de decisiones, con un ligero empuje de su decisión hacia arriba en la forma indicada.

El sorteo versión funciona ya que tiene una probabilidad positiva de ser en el espacio entre números enteros positivos, no importa qué son las distribuciones de las cantidades en los dos sobres.

Sus hojas en el árbol idea puede o no puede ayudar, ya que corre el riesgo de ser demasiado alto (que ya se puede ver que hay un montón de hojas, tal vez en exceso de las cantidades en los sobres) o de ser demasiado pequeño (hay un límite para el número de hojas), dependiendo de la distribución de los montos en los sobres y hojas en el árbol. Y no conozco a esas distribuciones.