Prueba de inducción. Explicar en detalle por qué es incorrecto

Question

Puede alguien dar una explicación clara de por qué esto es incorrecto? gracias

Teorema 1: Todos los enteros positivos son iguales.

Prueba: Nos muestran que cualquiera de los dos números enteros positivos son iguales, de que el resultado de la siguiente manera. Hacemos esto mediante la inducción en el máximo de los dos números. Deje $P(n)$ ser la declaración de la "si $r$ $s$ son enteros positivos y $\max \{ r, s \} = n$ then $r = s$."

Claramente $P(1)$ es cierto. Supongamos que $P(n)$ es verdad y deje $r$ $s$ ser enteros positivos cuya máxima es $n + 1$. Entonces $\max \{ r − 1, s − 1 \} = n$. Por la hipótesis inductiva, $r − 1 = s − 1$ y, por tanto,$r = s$. Por lo tanto $P(n + 1)$ es cierto.

El resultado es que ahora demostrado por inducción matemática.

Answer 1

No hay nada malo con las otras respuestas ya publicado, pero me gustaría dar un paso atrás y la dirección un poco más amplio de la cuestión: si se presenta con este argumento, ¿cómo podría usted encontrar la falla?

Así, si la prueba trabajado, a continuación, se establecería P(1) y, a continuación, P(2) y, a continuación, P(3) y así sucesivamente. Si no, entonces uno de estos pasos debe fallar. Aquí hay dos maneras en las que podemos identificar dónde se va mal. Todos ellos son útiles heurística cuando el seguimiento de errores en las pruebas.

1. Si se produce un error, probablemente falla temprana. Veamos los pasos en orden. P(1) es ciertamente correcta, entonces, ¿qué acerca de la transición de P(1) P(2) -- la primera aplicación de la perspectiva de paso? Vamos enchufe en algunos números específicos y a ver qué pasa: r=1,s=2, tal vez. Entonces r-1,s-1 0,1 ... y, ajá, esto no se ajusta a nuestra hipótesis inductiva.

2. Comparar doubful cosas en contra de lo que sabemos que es verdad. Así, P(n) se dice que todos los enteros positivos de hasta n son iguales. Eso es cierto para n=1, pero falsa para n=2. Así que, de nuevo, esto nos dice a centrarse en n=2 y a ver qué pasa.

Así que, en resumen, aquí están algunos de los principios generales.

• Cuando inductivo a prueba de falla, normalmente deja de ser "los primeros". Así que trate de buscar en los pequeños casos sencillos.
• En particular, el primer real inductivo paso es especialmente probable que estar equivocado. Más en general, de mirar el "casos límite".
• Si usted no puede ver inmediatamente el error en el razonamiento, probar un ejemplo concreto.
• Comparar lo que la prueba dice debe ser cierto con lo que sabemos por otros medios, es cierto. Buscar el primer punto en el que la prueba de saltos de algo que creen que es verdad para algo en lo que crees es falso.

Answer 2

Estado que $\max(r-1, s-1)=n\implies r-1=s-1$ por la hipótesis inductiva. Pero la hipótesis inductiva requiere los dos números que los enteros positivos, que si bien % o $r$ $s$son $1$.

Answer 3

No vale becase $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ $n=1$.

Debe ser cierto para todo natural $n$.

Answer 4

Voy a probar un poco más detallada respuesta. La prueba de la laguna está en esta frase:

A continuación,$\max \{ r − 1, s − 1 \} = n$. Por la hipótesis inductiva, $r − 1 = s − 1$ y, por tanto,$r = s$.

Para $P(n+1)$ tenemos que buscar en un "completamente nueva" de $r$$s$. Sólo sabemos que $r, ~ s \in \mathbb{N}$, lo que no quiere decir $(r-1), ~ (s-1) \in \mathbb{N}$. Así, la sentencia considera que solamente uno de ellos (específicamente (2.) por debajo) de los tres casos diferentes:

1. $r = s = 1 \\ \Rightarrow \text{This case is not relevant, because there is no } n \in \mathbb{N} \text{ with } n+1=max \left \{ r, s \right \}$
2. $r, ~ s \geq 2 \\ \Rightarrow (r-1), ~ (s-1) \geq 1 \\ \Rightarrow r, ~ s \in \mathbb{N} \\ \Rightarrow \text{You're allowed to use } P(n)$
3. $r = 1, s \neq 1$ o $r \neq 1, s = 1$

Usted nunca será capaz de demostrar (3.). Por lo tanto, usted nunca va a completar el paso de inducción.

Answer 5

Una definición muy sencilla de inducción matemática se puede encontrar aquí

que los estados que tiene dos pasos básicos,la definición del caso base y, a continuación, probar la inducción de paso.

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Caso Base: para demostrar que la sentencia dada por el primer elemento de la serie (conjunto de números enteros positivos en este caso) "si r y s son enteros positivos y max{r,s}=n, entonces r=s" para el caso base, vamos a r=s= 1 entonces max(1,1)=1, que es cierto

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Ahora, considere el paso de inducción. La inducción de paso: es demostrar que, si la declaración se supone que para ser verdadera para cualquier número natural, entonces debe ser cierto para el siguiente número natural así. Así que si P(n) (lo que significa que max(r,s) = n ) es verdadera, entonces P(n+1) (que es max(r+1,s+1)=n+1 ) también debe ser cierto