Número esperado de pollos unpecked - artículo NYT

Question

En este artículo, el ganador de la competencia de matemáticas respondieron a esta pregunta correctamente:

En un granero, 100 pollitos sentarse tranquilamente en un círculo. De repente, cada polluelo al azar pica el pollo inmediatamente a su izquierda o a la derecha. ¿Cuál es el número esperado de unpecked polluelos?

La respuesta fue dada como 25. Estoy interesado en conocer el método correcto para la solución de este problema así como una manera de averiguar esto, para N polluelos. Yo estaba pensando y tratando de resolver por averiguar el número de repeticiones (de algo?) dentro de una cadena binaria de longitud 100 (o N), pero no sé si esa es la manera correcta de acercarse a ella.

Answer 1

Para cualquier persona de pollo, hay un $0.5$ de probabilidad de que el uno a su derecha no peck, y un $0.5$ de probabilidad de que el de su izquierda no peck. Así que, en general, tiene un $0.25$ de probabilidad de no ser picoteados.

Como esto es cierto para cada chica, podemos añadir hasta $0.25(100)=25$ para obtener el número de unpecked polluelos.

"Pero espera," usted podría decir, "las probabilidades de que los polluelos son unpecked no son independientes! Si chick $n$ es unpecked, a continuación, los polluelos $n-2$ $n+2$ va a ser picoteados. Seguramente hemos de tener esto en cuenta!"

Afortunadamente, hay una muy útil llamado teorema de linealidad de la expectativa. Esto nos dice que para cualquiera de las variables aleatorias $X$$Y$, independiente o no, $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ donde $E$ es el valor esperado. Lo que estamos formalmente haciendo de arriba es la asignación de una variable aleatoria $X_i$ $i$th chica que es igual a $0$ si la chica es picoteado y $1$ si es unpecked. A continuación, el número total de unpecked pollos es $\sum X_i$, por lo que el número esperado de unpecked pollos es $$E\left[\sum X_i\right]=\sum E[X_i]$$ por la linealidad de las expectativas. Pero $E[X_i]$ es simplemente la probabilidad de que el $i$th pollo es unpecked, lo que justifica nuestro razonamiento anterior.

Answer 2

Este es un problema sencillo. Mira mamá, sin ecuaciones!

Considerar QUE es el único pollo que importa, y construir una tabla para decir que si USTED recibe picado. La probabilidad de ser picado se reduce a sólo 4 resultados. (1) SÍ - picado dos veces. (2) SÍ - picado desde el ala izquierda solamente. (3) SÍ - picoteados de ala derecha solamente. (4) NO - unpecked.

La tabla tiene 4 elementos, todos de igual probabilidad, de las cuales 1 es unpecked. Por lo tanto, se sangraban relación de 3:1 o 3:4 oportunidades o el 75% del tiempo. Para mayor comodidad, este necesita ser llevada a cabo por los 100 ensayos de USTED, y la respuesta es que el 25 veces NO ser picoteados. La circular de la naturaleza de los 100 pollitos dice que USTED no es única, y su experiencia es la misma que los otros, por lo que extrapolar su experiencia de los 100 ensayos para una sola prueba de 100 pollitos como USTED.

25 unpecked polluelos, 50 obtener picado al menos una vez, el 25 de obtener el doble de pica.

Esta es la misma tabla construida por 100 de las mujeres con dos niños y preguntando cómo muchos no tienen las niñas.

Answer 3

Es overkill para esto, pero usted puede escribir una simulación para estimar el número esperado. Tal simulación no prueba nada por sí, pero a veces es útil escribir una simulación rápida para confirmar que un cálculo de la probabilidad es correcto. Aquí está uno en R:

count.unpecked <- function(n){
  chicks <- 0:(n-1)
  pecks <- sample(c(-1,1),n,replace = TRUE)
  pecked <- (chicks + pecks) %% n
  n - length(unique(pecked))
}

print(mean(replicate(100000,count.unpecked(100))))

Esto simula el experimento de 100.000 veces. Salida de mi último análisis:25.00679

Answer 4

Es posible tener un estado con $50$ unpecked polluelos. También es posible tener $0$ unpecked polluelos y cualquier entero entre $0$ $50$ es posible. $51$ unpecked pollos es imposible, porque entonces no habría manera de $100$ pica totalmente. Si podemos demostrar que habiendo $x$ unpecked pollos es igualmente probable que habiendo $50-x$ unpecked pollitos, entonces el promedio de ambos escenarios da $25$ unpecked polluelos. Así que el número de polluelos $1$ $100$de manera tal que los números consecutivos son adyacentes el uno al otro y $1$ es próximo a $100$. Cambiar las direcciones de cada chica que es divisible por $4$ y cada chica que es congruente a $1 \mod 4$. Creo que esta involución nos da una correspondencia uno a uno entre los estados con $x$ unpecked polluelos y los estados con $50-x$ unpecked polluelos. Cada estado es igualmente probable y esto significa que $25$ tiene que ser el número esperado de unpecked polluelos.

Mi explicación sólo funciona cuando el número total de pollos es positivo y divisible por $4$. Por suerte, $100$ es divisible por $4$.

Answer 5

Considerar los pares de pollos, y pedir a la expectativa de cómo muchas extraño que los pollos son unpecked más el número que se doble picado. Si queremos crear un paseo aleatorio con el paso $k$ creciente a la izquierda si chick $2k$ picos a la izquierda, entonces podemos ver que el número de unpecked o doble picado impar pollos es el número de cambios de signo en una secuencia cíclica de la longitud de 50. La expectativa es de 25. Por LO que el número de unpecked chickes es la mitad, o 12.5. Añadir, ahora incluso los polluelos, se obtiene la respuesta de $12.5\times 2=25$.