¿Implica la existencia de una $\mathbb{Q}$-base, $\mathbb{R}$ que tiene opción hasta $\frak c$?

Question

El axioma de elección es, por ZF, equivalente a la afirmación de que todo espacio vectorial tiene una base. La implicación de la alianza por la existencia de una base para cualquier espacio vectorial se muestra en este documento.

La prueba de que el teorema se puede resumir de la siguiente manera: Uno se adhiere a todos los miembros de los conjuntos de $X_i$, de la que uno necesita elección de variables a un campo arbitrario $k$ crear el campo de funciones racionales $k(X)$ sobre dicho campo. A continuación, un subcampo $K$ de campo que se define a través de una variación de homogeneidad que considera el índice de la $X_i$ a partir de las variables que se están produciendo y, finalmente, el espacio de las variables como un espacio vectorial $V$ $K$ se considera. Una base para $V$ $K$ es elegido, y la construcción es tal que para todos los $x \in X_i$, el mismo conjunto de base de los elementos que ocurre con los no-cero coeficiente en su $K$-representación. Este hecho es, a continuación, utiliza junto con una similitud de los coeficientes que ocurren a elegir un único $x_i \in X_i$ y un elemento fue elegido como desee.

Ahora, este comentario me hizo curioso si no puede ser un $\mathbb{Q}$-base de $\mathbb{R}$ cuando la elección falla en el tamaño de la continuidad o de abajo.

Que se separa en tres potencialmente difícil (o, quizá más probablemente, fácilmente respondió negativamente) preguntas:

a) Podemos concluir nada de la existencia de una base específica? La construcción del campo crítico en la prueba se basa en la estructura del conjunto de la familia que elegimos, y por lo que parece que estos campos no debe ser isomorfo de las diferentes familias de conjuntos. Pero eso no quiere decir que no puede ser otra prueba donde están. O también podría ser posible elegir que uno garantizada base para una familia, podemos deducir opción para todas las otras familias de la misma cardinalidad - pero entonces, ¿ una familia? Cualquier prueba directa de la existencia de ordenamientos que conozco el uso de varias instancias de elección, pero quizás uno cuidadosamente elegido, puede ser suficiente?

b) Suponiendo que a) se respondió positivamente, podemos hacer conclusiones acerca de la menor cardinalidades? O, en virtud de ZF con más fuerza, podemos decir algo acerca de todos los subconjuntos incluso si ellos no son comparables - puede que todavía existan si tenemos opción para todas las familias de conjuntos de cardinalidad $\frak c$?

c) Incluso si a) se respondieron de manera positiva, podría un $\mathbb{Q}$-base para $\mathbb{R}$ ser utilizado como este? Este sería entonces, obviamente, requieren una calidad diferentes.

Para hacer la pregunta precisa, considerar tres versiones de "sostener a $\frak c$":

¿Tenemos opción para las familias de conjuntos, donde tanto el conjunto de índices y todos los conjuntos son subconjuntos de a $\mathbb{R}$?

Y, no necesariamente, equivalentemente, tenemos opción para las familias de conjuntos, donde tanto el conjunto de índices y todos los conjuntos han definido cardinalidades $\le\frak c$ o quizás $<\frak c$?

Answer 1

De acuerdo a las Consecuencias del axioma de elección sitio web no se sabe si una base de Hamel para $\mathbb R$ $\mathbb Q$ implica $AC(\mathbb R)$ (elección de la función en $\mathcal P(\mathbb R)\setminus{\varnothing}$). La última es equivalente a la suposición de que $\mathbb R$ puede ser bien ordenado.

Para buscar en ellos, 367 es el número de formulario de una base de Hamel y 79 para el otro.

Me parece que la pregunta un poco illformed. Por qué? Podemos violar el axioma de contables de elección en rangos tan altos que los números reales no se ven afectados por esto, Monro mostraron que se puede agregar Dedekind-finito de conjuntos que pueden ser mapeadas a $\kappa$ arbitrariamente un alto $\kappa$, lo hacemos mediante la adición de subconjuntos de a $\kappa$ en lugar de la adición de números reales.

Supongamos que empezamos con $V=L$, en el que $\frak c=\aleph_1$, y añadimos un Dedekind-subconjunto finito en el rango $\aleph_{\omega_1}^+$. Este rango es tan alta que no hay nada acerca de los números reales que no se producen en esta etapa. Por otro lado, ya no contables elección!

Aún más la brecha que hay diversos weakenings del axioma de elección, que no son equivalentes.

1. No es $AC_\lambda$ que afirma que las familias (de conjuntos no vacíos) de tamaño $\leq\lambda$ tienen la opción de elegir funciones;
2. No es $W_\lambda$ que afirma que cada cardinalidad es comparable con $\lambda$; y
3. No es $DC_\lambda$ que afirma que para cada relación binaria en un vacío $S$ si todos los "cadena" de longitud $<\lambda$ tiene un límite superior, a continuación, hay una cadena de longitud $\lambda$.

Entre los tres sólo hay una verdadera implicación, dado un regular $\lambda$, $DC_\lambda$ implica tanto a los demás. Que no implican uno al otro, excepto algunos pequeños caso de límite de cardenales donde tenemos $AC_{\operatorname{cf}(\lambda)}$$DC_{<\lambda}$.

Esto hace que la pregunta "¿tenemos opción a a $\frak c$?" algo mal formada, más aún, ya no sabemos si $\frak c$ tiene que ser bien ordenado para tener una base; si no está bien ordenada, a continuación, $AC_\frak c$ tiene incluso más raro de la formulación.

Hay también todo el tema de otras formas de elección: Boolean Primer Ideal Teorema (y muchos de sus equivalentes) y la manera en la que podría implicar de alguna manera que una base existe. Estos son conocidos desde hace tiempo a ser muy separados de cualquiera de los tres de arriba (Cohen primer modelo contable elección falla en los números reales, pero BPIT tiene).