Algunas preguntas sobre la teoría de modelos, especialmente la teoría de modelos de anillos

Question

Nunca he leído nada propiamente dicho sobre la teoría de los modelos, así que tengo algunas preguntas:

Alguien me dijo que una escuela de lógicos logró dar una prueba muy corta del Teorema de Falting usando la teoría de modelos (y aparentemente la "eliminación de cuantificadores"); no he podido encontrar ninguna referencia sobre esto, ¿alguna idea?

También recuerdo que me dieron información muy interesante sobre la teoría de modelos de algunos anillos. No recuerdo los detalles, pero sí que daba ideas precisas sobre cómo algo como los números complejos es fácil de trabajar, mientras que para los enteros es mucho más difícil (con problemas como el teorema de Matiyasevich/el problema de la décima de Hilbert). No he conseguido encontrar nada parecido a lo que recuerdo de él.

¿Alguien tiene alguna información sobre todo esto, o una buena fuente para aprender (que, con suerte, mencione estos ejemplos, al menos el segundo, ya que parece que debe ser bastante estándar)?

Answer 1

Este libro comienza en un nivel bastante básico y está repleto de pequeñas aplicaciones de la teoría de modelos a la teoría de anillos. Nada tan profundo como Mordell-Lang, pero da una buena impresión de cómo es posible derivar afirmaciones sobre anillos utilizando la lógica.

Me gusta este ejemplo del tipo de cosas con las que hay que lidiar: Es ridículamente fácil demostrar (Thm 1.13 en la fuente anterior) que dos campos algebraicamente cerrados de la misma característica satisfacen exactamente los mismos enunciados de primer orden en el lenguaje de los anillos. Al principio uno se impresiona y trata de demostrar algo interesante sobre todos los campos de car 0 demostrándolo para los números complejos. Luego uno se da cuenta: Es muy difícil expresar un enunciado interesante en el lenguaje de anillos de primer orden, básicamente todo lo que se puede hablar es de ecuaciones polinómicas. Así que el paso clave en estas aplicaciones de la lógica es a menudo encontrar una expresión ingeniosa para las cosas que a uno le interesan, en un lenguaje suficientemente simple (por ejemplo, hay que encontrar axiomas cuya teoría resultante satisfaga entonces la eliminación de cuantificadores).

Answer 2

No sé si es "corto", pero creo que la prueba teórica del modelo para la Conjetura de Mordell (Teorema de Fatlings) fue dada por Ehud Hrushovski.

(EDIT: y sólo para aclarar, estoy bastante seguro de que la prueba es bastante más compleja que la eliminación de cuantificadores per se. Además, Terry Tao tiene actualmente un seminario de lectura para entender otro trabajo más reciente de Hrushovski).

Answer 3

Un libro razonablemente bueno para "principiantes" sobre la teoría de modelos es Model Theory, de David Marker: An Introduction. No estoy seguro de si habla de los ejemplos específicos que tienes en mente, pero definitivamente habla de la eliminación de cuantificadores, y probablemente de otras herramientas que se utilizarían en las pruebas que buscas.

Answer 4

Hrushovski de la prueba, tal como se presenta en Bouscaren del libro, es muy implican. Se requiere una gran cantidad de antecedentes, técnicas, ingredientes, y, digamos, una cierta dosis de fe. No es un one-liner. Prefiero recomendar la lectura de un más sencillo acercamiento a la ch.0 caso (uso de jet espacios de diferencial de campos) dada por A. Pillay, y M. Ziegler y por escrito a cabo muy cuidadosamente por Pablo Baginski en su tesis de pregrado.

Answer 5

Puedes encontrar este libro útil, si quieres entrar en los detalles. Descargo de responsabilidad: lo encontré mientras buscaba en Google otra cosa y pensé en mencionarlo. No lo he leído.