contra

Question

Si $a_k\in\mathbb{C}$ ($k\in\mathbb{Z}$), aquí están dos definiciones equivalentes para $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k $$ Para referencia, las dos definiciones son:

• $$\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k=L\\ \Updownarrow\\\forall\epsilon>0,\existe N,m,n> N\implica\left|\sum_{k=-m}^na_k-L\right|<\epsilon$$
• $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k=L\\ \Updownarrow\\ \sum_{k=0}^{\infty}a_k\text{ y }\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}\text {, tanto existen y }\sum_{k=0}^{\infty}a_k+\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}=L $$

Preguntas:

1. Es la notación $\displaystyle\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_k$ generalmente se define a la media de $\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k$ (de acuerdo a uno de los dos definiciones equivalentes)?

2. Es la notación $\displaystyle\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_k$ un caso particular de una definición de una suma de números complejos más arbitraria de conjuntos de índices (ver aquí)?

3. Si la respuesta a la pregunta 2. es sí, entonces son las definiciones que acabo de dar en consonancia con la definición general?

Answer 1

No estoy seguro de si hay un consenso unánime sobre el significado de la notación $\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_k$, pero a menudo se define como uno de los siguientes equivalente de la noción:

1. $\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_k$ es el límite de la red $ \{ \sum_{k \in F} a_k : F \subset \Bbb{Z} \text{ and $F$ is finite} \}$.

2. $\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_k = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k$ cuando la serie es absolutamente convergente, es decir, $\sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k| < \infty$.

Como se puede ver en la segunda definición, la suma de $\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_k$ es estrictamente una fuerte noción de que el doblemente infinita suma $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k$.

Ejemplo. Consideremos $a_k = (-1)^k /k$$k \neq 0$$a_0 = 0$, $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k = 0$ es fácil de comprobar. Por otro lado, $\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_k$ es simplemente indefinido.

Y la primera definición es exactamente un caso especial de la definición introducida en su enlace.

Answer 2

Su integral w.r.t. contando medida al $\sum_{k \in \mathbb Z} \left| a_k \right| < \infty$, en cuyo caso la equivalencia dada por el Teorema de Convergencia Dominada.

Si $(a_k)$ no es absolutamente summable, las definiciones pueden no estar de acuerdo. Por ejemplo, si $a_k = k$, la primera definición que da una suma de $0$, mientras que el segundo es indefinido. (Si la definición está tomada a ser el límite de simétrica sumas)

(2) es verdadera, pero no necesariamente tiene para los no-absolutamente summable de la serie. En el que caso de que la orden de la suma de lo que sí importa y que la suma puede converger a un valor en $\mathbb R$ si todos los $a_k$ son reales.