Muestran que

Question

Si $x_0 = 5$ $x_{n+1} = x_n + \frac {1}{x_n},$ muestran que

$45<x_{1000}<45.1$

Este problema se toma de la lista presentada por el $1975$ Canadiense de la Olimpiada de Matemáticas (pero no se utiliza en el examen).

Traté de escribir el primer par de términos :

$x_1 = 5+ \frac{1}{5} $

$x_2 = \big(5+\frac{1}{5}\big) + \big(5+\frac{1}{5}\big)^{-1} = \frac{x_0^2 + 1}{x_0} + \frac{x_0}{x_0^2 + 1} = \frac{(x_0^2 + 1)^2+x_0^2}{x_0(x_0^2+1)}$

$x_3 = \frac{(x_0^2 + 1)^2+x_0^2}{x_0(x_0^2+1)} + \frac{x_0(x_0^2+1)}{(x_0^2 + 1)^2+x_0^2} = Messy$

He intentado mucho pero no pude encontrar ninguna fórmula general para la $n$th plazo. ¿Aún existe?

También es claro que $\big(x_n + \frac{1}{x_n}\big)$ es una función creciente. Así que creo que la secuencia se aleja, pero, ¿cómo puede el $1000th$ plazo calcularse o aprroximated?

Cualquier ayuda se agradece :).

Answer 1

RECLAMACIÓN

Para todos los $n \ge 1$, entonces demostremos $$\frac{\sqrt{2n+25}+\sqrt{2n+27}}{2} \ge x_{n} > \sqrt{2n+25}$ $ prueba

Esto es para $n=1$. Esto puede comprobarse numéricamente.

Asumir que esto es $n=m$. Luego, podemos probar nuestro resultado mediante inducción. $$ \frac{\sqrt{2n+29}+\sqrt{2n+27}}{2}>\sqrt{2n+27}\ge x_{m}+\frac{1}{x_{m}}=x_{m+1}$ $ Más lejos más, $$x_{m+1}^2=x_{m}^2+2+\frac{1}{x_{m}^2}>2n+27 \implies x_{m+1} > \sqrt{2n+27}$ $ por lo tanto, se demuestra nuestra afirmación. El resultado deseado se deduce nuestra reclamación.

Answer 2

$x_n^2-x_{n-1}^2=2+\frac{1}{x_{n-1}^2}$ for $n\geq1$.

Así, $$x_{1000}^2=2\cdot1000+25+\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{x_1^2}+...+\frac{1}{x_{999}^2}>2025$ $ y $$x_{1000}^2=2\cdot1000+25+\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{x_1^2}+...+\frac{1}{x_{999}^2}<2025+\frac{100}{x_0^2}+\frac{900}{x_{100}^2}<$ $ $$<2025+4+\frac{900}{225}=2033<45.1^2$ $

Porque $x_{100}^2>225$.