Integral que implica traduce de $\{x\}$.

Question

Tenemos dos funciones: $F(x)$ $G(x)$

Supongamos que la integral impropia tiene el valor 1. $$\int_{1}^{\infty} F(x) G(x) \mathrm{d}x = 1$$

Podemos encontrar el valor de la integral, donde c es una constante? $$\int_{1}^{\infty} F(x+c) G(x) \mathrm{d}x$$

Estoy interesado en generalizada respuestas y no ejemplos específicos. O, si cualquiera de los enlaces/books' info donde puedo leer problemas similares, que sería muy apreciada.

EDIT: Debido a la muy generalizada la naturaleza de esta pregunta, me estoy dando los ejemplos que estoy trabajando.

$$F(x) = \{x\}$$ Donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de x, y $$G(x) = \frac{\sin(x\log(x))}{x^{h+1}}$$ donde las constantes son $0< h < 1$$c = 1/2$.

Answer 1

Si $c$ es negativo, la segunda integral implica valores $F(t)$ $t<1$, que pueden ser cambiadas arbitrariamente sin afectar a la primera integral! Pero incluso si se restringe a positivo $c$, creo que no hay nada que se puede decir en general sin información adicional.

Answer 2

¿Sabe usted algo acerca de $F$$G$? Si no, entonces, ciertamente, no. Deje $G(x) = 1$ si $x \leq 2$ $0$ lo contrario. Deje $F(x) = 1$ si $x< 2$; dejamos $F(x)$ no definido en otro lugar por ahora. A continuación,$\int_1^{\infty} F(x)G(x) = 1$.

Considere la función $h(c) = \int_1^\infty F(x+c)G(x)dx$ definido en $0 < c$. Yo reclamo que por cualquier continuamente función derivable $H(c)$ tal que $H(0) = 1$, puedo encontrar una extensión a $F(x)$ (es decir, rellenando el indefinido spots) de forma tal que $h(c) = H(c)$.

Prueba: Observe que, por definición,$h(c) = \int_{1+c}^{c+2} F(x) dx$. A continuación,$h'(c) = F(c+2) - F(c+1)$. A fin de comenzar con $F(x) = 1$$1\leq x < 2$, a continuación, defina $F(x) = H'(x-2) + H'(x - 3) + \ldots + H'(x - k) + F(x - k + 1)$ donde $k$ es el entero donde $1 \leq x - k + 1 < 2$. La construcción, $h'(c) = H'(c)$$h(0) = H(0)$, de modo que las dos funciones de acuerdo.

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De lo anterior podemos concluir que solo sabiendo $\int_1^\infty F(x) G(x) dx = 1$ nos dice absolutamente nada sobre la $\int_1^\infty F(x+c) G(x) dx$; puede ser casi cualquier cosa que usted quiere que sea.

Answer 3

En razonablemente situaciones generales (e.g, distribuciones si es necesario) la segunda integral puede ser diferenciados con respecto a $c$ y los derivados se $\int F^{(n)}(x)G(x) dx$. Sólo como una función no está determinado por su valor en un punto, estos derivados no están determinados por el valor en $c=0$, por lo que incluso el comportamiento local de las perturbaciones de la integral original (el asymptotics de la segunda integral para pequeñas $c>0$) no está determinado por la integral con $c=0$.

Es difícil pensar en ejemplos en los que la segunda integral se determina, no importa cuán limitados $F$$G$. Considere la situación en la que $F(x)$ $1/G(x)$ son polinomios de grados 2 y 4 con coeficientes positivos. Este es un porta muy bien el problema, pero la variación con respecto al $c$ es indeterminado por una sola pieza de información. Si usted requiere entero coeficientes o similares de discretización, a continuación, hay alguna esperanza de recuperación de $F$ $G$ desde el valor de la primera integral, pero este es un Diophantine problema y ya no es una cuestión de análisis real.

Answer 4

Ahora que has actualizado tu pregunta con el hecho de que $F(x) = \{x\}$ (la notación estándar para la parte fraccionaria de $x$), hay un poco más de lo que se puede decir. En particular, se puede dar una interpretación a $\int_1^{\infty} \{x + c\} G(x) dx$. Deje $0 < c < 1$.

Entonces $$\{x + c\} = \begin{cases} \{x\} + c, &0 \leq \{x\} < 1 - c; \\ \{x + c\}= \{x\} + c - 1, &1-c \leq \{x\} < 1. \end{casos}$$

Tenemos $$\begin{align} &\int_1^{\infty} \{x + c\} G(x) dx = \int_{1 \leq x < \infty, 0 \leq \{x\} < 1 - c} (\{x \} + c) G(x) dx + \int_{1 \leq x < \infty, 1-c \leq \{x\} < 1 } (\{x \} + c - 1) G(x) dx \\ &= \int_1^{\infty} \{x \} G(x) dx + c \int_{1 \leq x < \infty, 0 \leq \{x\} < 1 - c} G(x) dx + (c-1) \int_{1 \leq x < \infty, 1-c \leq \{x\} < 1 } G(x) dx \\ &= 1 + c \int_{1 \leq x < \infty, 0 \leq \{x\} < 1 - c} G(x) dx - (1-c) \int_{1 \leq x < \infty, 1-c \leq \{x\} < 1 } G(x) dx. \end{align}$$

Los dos restantes integrales constituyen un promedio de clases, ponderadas para tener en cuenta el hecho de que están siendo tomadas en diferentes porcentajes del intervalo de $[1,\infty)$. La primera integral se presenta ponderado por $c$, sino que incluye a $1-c$ del intervalo de $[1,\infty)$, tal y como está siendo tomado el conjunto $\cup_{i=1}^{\infty} [i,i+1-c)$. (Recuerde que $c$ es una fracción entre el$0$$1$.) La segunda integral se presenta ponderado por $1-c$, sino que incluye a $c$ del intervalo de $[1,\infty)$, tal y como está siendo tomado el conjunto $\cup_{i=2}^{\infty} [i-c,i)$. Por lo $\int_1^{\infty} \{x + c\} G(x) dx$ sólo se desplaza el peso de los valores de $G(x)$ $\int_1^{\infty} \{x \} G(x) dx$ en la manera que acabo de describir. El valor resultante para $\int_1^{\infty} \{x + c\} G(x) dx$ será mayor o menor que $1$, dependiendo de si el mayor de los valores de $G(x)$ $[1, \infty)$ tienden a aglutinarse justo encima de cada valor entero de $x$ o justo por debajo.

Aparte de esto, creo que Willie Wong respuesta todavía se aplica. En particular, usted todavía no puede obtener una respuesta exacta para $\int_1^{\infty} \{x + c\} G(x) dx$ - sólo una interpretación de la misma.

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También pidió referencias para problemas similares a los suyos. Uno de ellos es la convolución de dos funciones de $f$$g$, una forma de que se

$$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d \tau.$$

Las circunvoluciones tienen muchas propiedades interesantes y las interpretaciones. Ver MathWorld del artículo en las circunvoluciones para obtener más información.