Este sistema es un múltiple

Question

deje $S$ el conjunto de pares $(x,y)$ donde x,y son ortogonal de vectores unitarios en $\mathbb R^3$. estoy tratando de mostrar que este es un topológica del colector. para empezar, uno debe definir un adecuado topología. yo estaba pensando en dejar a un conjunto de $U$ ser abierta en $S$ fib $U \cap S^2$ (intersección con la esfera) es abierto en $S^2$ en la topología de subespacio? voy en la dirección correcta? Realmente me gustaría appreicate un poco de ayuda. gracias

esto es realmente acerca de topológica del colector, lo siento por no se indica anteriormente.

he aquí la definición:

el colector es un segundo contables espacio de Hausdorff localmente Euclidiana.

Answer 1

Su conjunto $S$ es un subconjunto de a $\mathbb R^6$, así que dale la topología de subespacio. Que asegura es 2ª contables y Hausdorff.

Para mostrar que es un colector, aviso de $S$ es el de los pares de $(x,y) \in \mathbb R^3 \times \mathbb R^3$ tal forma que:

$$ |x|^2 =1,\ \ |y|^2=1, \ \ x\cdot y = 0 $$

Esto es lo mismo que decir $S = f^{-1}(1,1,0)$ donde $f(x,y) = (|x|^2, |y|^2, x \cdot y)$.

Así que la idea sería mostrar los $(1,1,0)$ es un habitual de valor de $f$, después de aplicar la preimagen teorema como Qiaochu de la cites. La pre-imagen teorema es básicamente el teorema de la función implícita de cálculo, pero la re-fundido en un conveniente formalismo para decir cosas son colectores.

Answer 2

Es un múltiple liso de dimensión 3. En efecto: definirse que $F : S^2 \times S^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $F(x,y)=\sum_i x_i y_i$ (el estándar producto interno). $F$ es un mapa liso en el % colector liso $S^2 \times S^2$y su derivado desaparece por lo que es una inmersión. Bu la propiedad de la inmersión, el conjunto de sus ceros es un colector de dimensión $2*2-1=3$.