Ejemplos de anillos equivalente Morita

Question

¿Alguien puede dar algunos ejemplos de Morita equivalente anillos diferentes de la clásica? (es decir, que un anillo $R$ es Morita equivalente al anillo de $M_n(R)$)

Answer 1

Básicamente la pregunta pide progenerators ( = finitely generado proyectiva generadores) $P$$\mathsf{Mod}(R)$, desde entonces $R$ $S=\mathrm{End}(P)$ son Morita equivalente, y cada Morita equivalencia surge de esta manera. Supongamos que $R$ tiene sólo trivial idempotents (uno puede asumir este wlog al $R$ es noetherian). Entonces se la conoce (Lam, Conferencias sobre los Módulos y Anillos, 18.11) que cada finitely generado proyectiva módulo de $\neq 0$ ya es un progenerator. Así que la pregunta es cuales son los ejemplos de finitely generado proyectiva módulos que no son libres (y en realidad queremos que su endomorfismo anillo no es sólo un álgebra de matrices, que señala la conmutativa anillos y muchos otros ejemplos). Estos existir cuando la algebraica de K-teoría de la $K_0(R)$ es mayor que $\mathbb{Z}$. El libro Algebraica de K-teoría y aplicaciones contiene la teoría básica y los muchos ejemplos.

Por ejemplo (véase 1.2.7 en la loc.cit), vamos a $k$ ser un campo y considerar la posibilidad de $R=\mathrm{colim}_n ~M_{2^n}(k)$ con los mapas de transición $A \mapsto \mathrm{diag}(A,A)$ (esto está relacionado con el conocido COCHE-álgebra en el análisis funcional). A continuación, $K_0(R) = \mathrm{colim}_n~ K_0(M_{2^n}(k)) = \mathrm{colim}_n ~K_0(k) = \mathrm{colim}_n ~\mathbb{Z}$ con los mapas de transición $2 : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, por lo tanto $K_0(R)=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$. Es un buen ejercicio para calcular el endomorfismo anillo de la proyectiva módulo correspondiente a $\frac{1}{2}$.

Answer 2

Wikipedia afirma que $S$ es Morita equivalente a $R$ si y sólo si

$$S \cong e M_n(R) e $$

para algún entero positivo $n$ y idempotent matriz $e$satisfacción $M_n(R) = M_n(R)eM_n(R)$.

Answer 3

Considerar el álgebra de matrices de #% % triangular superior $2 \times 2$ #% $ como un módulo sobre sí mismo es suma de dos módulos indescomponible. Denotar como $$\left( \begin{array}{cc} * & * \\ 0 & * \end{array} \right)$ y $V_1$ (una y dos dimensiones respectivamente). $V_2$ es un generador proyectivo (aquí $P = V_1^{\oplus n} \oplus V_2 ^ {\oplus m}$). Por ejemplo, n = 2, m = 1 proporciona es isomorfo a $ de $n,m \geq 1$ $End(P)$