Esto no es realmente una respuesta a tu pregunta, pero me gustaría verlo aquí la próxima vez que venga a buscar, así que lo publicaré. El siguiente resultado es básicamente el Teorema 2.1 de C ∞ -espacios diferenciables por Juan A. Navarro González y Juan B. Sancho de Salas.
Teorema: Para cualquier colector M, los ideales máximos de C(M) cuyo campo de residuos es ℝ están exactamente en biyección con los puntos de M.
Prueba: Está claro que los puntos dan ideales maximales distintos con el campo de residuos ℝ, así que sólo tenemos que demostrar que cada uno de esos ideales proviene de un punto. Supongamos que m es un ideal maximal en C(M) tal que C(M)/m=ℝ y ∩ g∈m {g=0}=∅.
Elija una secuencia de conjuntos compactos K 1 ⊂K 2 ⊂...⊂M tal que K i está en el interior de K i+1 y M=∪K i (se puede hacer esto ya que M es hausdorff y segundo contable). Para cada i, elija una función f i que es 0 en K i pero 1 fuera de K i+1 y definir f=∑f i . Nótese que para cualquier r∈ℝ, el conjunto {x|f(x)=r} es un subconjunto cerrado de algún K i , por lo que es compacto.
Como tenemos una suryección C(M)→ℝ cuyo núcleo es m, existe algún r∈ℝ para que f-r∈m. Como ∩ g∈m {g=0}=∅, los conjuntos abiertos {g≠0} g∈m es una cobertura de M, y en particular cubre el conjunto compacto {f=r}. Por tanto, existe una colección finita g 1 , g 2 , ..., g n ∈m para que {g 1 \=0}∩...∩{g n \=0}∩{f=r}=∅. Pero entonces (g 1 )²+...+(g 1 )²+(f-r)²∈m es una función que no desaparece en ninguna parte, por lo que es una unidad, así que m=C(M), una contradicción.