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Ideales máximos en el anillo de funciones continuas de valor real sobre R

Para un espacio compacto $K$ los ideales máximos del anillo $C(K)$ de funciones continuas de valor real sobre $K$ son fácilmente identificables con los puntos de $K$ (un punto define el ideal máximo de las funciones que desaparecen en ese punto).

Ahora toma $K=\mathbb{R}$ . ¿Existe una caracterización útil del conjunto de ideales máximos de $C(\mathbb{R})$ el anillo de funciones continuas sobre $\mathbb{R}$ ? Nótese que no estoy imponiendo ninguna condición de acotación en el infinito (si se hace, creo que la respuesta tiene que ver con la compactación de Stone-Čech de $\mathbb{R}$ - pero tampoco puedo decir que tenga totalmente clara esa parte). ¿Es este anillo demasiado grande para permitir una descripción razonable de sus ideales máximos?

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Ryan Ahearn Puntos 3829

El libro de Peter Johnstone Espacios de piedra (p. 144) demuestra que para cualquier X, los ideales máximos en C(X) son los mismos que los ideales máximos en C_b(X) (funciones acotadas), es decir, la compactificación Stone-Cech \beta X. En efecto, si I es un ideal maximal, sea Z(I) el conjunto de todos los conjuntos nulos de elementos de I; éste es un filtro sobre la red de todos los conjuntos cerrados que son conjuntos nulos de funciones. Entonces I está contenido en J(Z(I)), el conjunto de funciones cuyos conjuntos cero están en Z(I), por lo que por maximalidad son iguales. Pero además, por maximalidad, Z(I) debe ser un filtro maximal en la red de conjuntos nulos, y obtenemos una biyección entre filtros maximales de conjuntos nulos e ideales maximales en C(X). Ahora se aplica exactamente la misma discusión a C_b(X) para dar una bijección entre filtros maximales de conjuntos nulos e ideales maximales de C(X) (ya que los posibles conjuntos nulos de funciones acotadas son los mismos que los posibles conjuntos nulos de todas las funciones). Pero los ideales maximales de C_b(X) son simplemente \beta X.

La diferencia entre C_b(X) y C(X) es que para C_b(X), los campos de residuos para todos estos ideales máximos son sólo C, mientras que para C(X) se pueden conseguir cosas más exóticas. De hecho, si un ideal maximal en C(X) tiene el campo de residuos C, entonces toda función en X debe extenderse automáticamente de forma continua al punto correspondiente de \beta X. Esto puede ocurrir en realidad para X no compacto, por ejemplo, el ordinal \omega_1.

La sección IV.3 del libro de Johnstone tiene una discusión bastante completa de este tema si quieres más detalles.

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Jeff Atwood Puntos 31111

Esto no es realmente una respuesta a tu pregunta, pero me gustaría verlo aquí la próxima vez que venga a buscar, así que lo publicaré. El siguiente resultado es básicamente el Teorema 2.1 de C ∞ -espacios diferenciables por Juan A. Navarro González y Juan B. Sancho de Salas.

Teorema: Para cualquier colector M, los ideales máximos de C(M) cuyo campo de residuos es ℝ están exactamente en biyección con los puntos de M.

Prueba: Está claro que los puntos dan ideales maximales distintos con el campo de residuos ℝ, así que sólo tenemos que demostrar que cada uno de esos ideales proviene de un punto. Supongamos que m es un ideal maximal en C(M) tal que C(M)/m=ℝ y ∩ g∈m {g=0}=∅.

Elija una secuencia de conjuntos compactos K 1 ⊂K 2 ⊂...⊂M tal que K i está en el interior de K i+1 y M=∪K i (se puede hacer esto ya que M es hausdorff y segundo contable). Para cada i, elija una función f i que es 0 en K i pero 1 fuera de K i+1 y definir f=∑f i . Nótese que para cualquier r∈ℝ, el conjunto {x|f(x)=r} es un subconjunto cerrado de algún K i , por lo que es compacto.

Como tenemos una suryección C(M)→ℝ cuyo núcleo es m, existe algún r∈ℝ para que f-r∈m. Como ∩ g∈m {g=0}=∅, los conjuntos abiertos {g≠0} g∈m es una cobertura de M, y en particular cubre el conjunto compacto {f=r}. Por tanto, existe una colección finita g 1 , g 2 , ..., g n ∈m para que {g 1 \=0}∩...∩{g n \=0}∩{f=r}=∅. Pero entonces (g 1 )²+...+(g 1 )²+(f-r)²∈m es una función que no desaparece en ninguna parte, por lo que es una unidad, así que m=C(M), una contradicción.

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