representa a $ \cos (x^{1/2})$ de la serie Maclaurin

Question

Necesito representar $ \cos (x^{1/2})$ de la serie Maclaurin.

No estoy seguro de que lo que he hecho sea correcto. Sabemos que la serie de Maclaurin para $$ \cos (x) = 1- {x^2 \over 2!} +{x^4 \over 4!}+ \cdots $$ Así que sustituyo $x^{1/2}$ y tengo $$ \cos (x^{1/2})= 1 - {x \over 2!} + {x^2 \over4 !}+ \cdots $$

Pero cuando lo compruebo, con $x=16$ No tengo la respuesta correcta. ¿Dónde está el problema? Gracias.

Answer 1

Lo que hiciste es perfectamente válido. Pero note que la igualdad se obtiene usando la serie infinita. $$ \cos (x^{1/2})= 1 - {x \over 2!} + {x^2 \over4 !}+ \cdots $$

Si se toman algunos términos de la serie, se obtiene una aproximación: $$ \cos (x^{1/2}) \approx 1 - {x \over 2!} + {x^2 \over4 !}. $$

Y cuanto más grande $x$ es que, para una suma parcial fija, cuanto peor sea la aproximación.

Usando los primeros tres términos, con $x=16$ lo has hecho: $$ \cos (16^{1/2})-( 1 - {16 \over 2!} + {16^2 \over4 !}) \approx -4.32. $$ Pero si vas a la $8$ El término, el error es pequeño: $$ \cos (16^{1/2})-( 1 - {16 \over 2!} + {16^2 \over4 !} + \cdots - {16^7 \over 14!}) \approx.000195. $$

Usar más términos te dará errores aún más pequeños.

Answer 2

Esto es correcto, ¿cómo lo has comprobado? Lo obtuve:

• $ \cos (4) =-0.6536$
• $1 - 16/2 + 16^2/4! = 3,67$
• $1 - 16/2 + 16^2/4! - 16^3/6! = -2.022$
• $1 - 16/2 + 16^2/4! - 16^3/6! + 16^4/8! = - 0.39$
• $ \vdots $
• $1 - 16/2 + 16^2/4! + \cdots - 16^7/14! = - 0.6538$

Para $x$ tan grande como 16, la convergencia no es tan rápida como se puede pensar. Es mucho más rápida con pequeños valores de $x$ .

Answer 3

( Actualización : Puede ser contestado después de todo. Por favor, ignore esta respuesta. Para el negativo x, la identidad $ \text {cos} \sqrt {x} = \text {cosh} \sqrt {-x}$ se comporta bien y es posible llenar la singularidad.)

Esta pregunta no puede ser respondida. La función $ \text {cos}(x^ \frac12 )$ no es continuo a 0 y por lo tanto no tiene sentido pensar en una serie de Maclaurin.

Estarías intentando tomar una raíz cuadrada de un número negativo. Y un análisis complejo tampoco ayudará aquí, como Maclaurin necesita ser infinitamente diferenciable a 0, y no lo es.

Podrías tomar la serie de Taylor en cualquier valor positivo.