Esta es una respuesta parcial. Es el intento de justificar algunas expresiones que me obtenidos por extraño $m$ mediante la manipulación de las sumas que la divergencia de la serie.
Lo que he mostrado hasta ahora es para todos los impares $m \ge 3$$\le 99$, las siguientes sumas
$$S_m \stackrel{def}{=} \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})^m$$
es una combinación lineal de la función zeta negativo de la mitad-valores enteros.
Para cualquier $m > 0$, tenemos
$$(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})^m = T_m(\sqrt{n}) - U_{m-1}(\sqrt{n})\sqrt{n-1}$$
donde $T_m(x)$, $U_{m-1}(x)$ son los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase.
Al $m = 2\ell+1$ es impar, $T_m(x)$ es una extraña polinomio en $x$ con degreee $2\ell+1$ $U_{m-1}(x)$ es incluso un polinomio en $x$ con grado de $2\ell$. Podemos reescribir la suma parcial de $S_m$
$$\begin{align}
S_{m,p} \stackrel{def}{=} \sum_{n=1}^p (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})^m
& = \sum_{n=1}^p \left(T_m(\sqrt{n})-U_{m-1}(\sqrt{n})\sqrt{n-1} \right)\\
& = \left(\sum_{n=1}^p \left(T_m(\sqrt{n})-U_{m-1}(\sqrt{n+1})\sqrt{n}\right)\right)
+ U_{m-1}(\sqrt{p+1})\sqrt{p}
\end{align}
$$
Lo que está dentro de la suma de la última línea se $\sqrt{n}$ veces un polinomio en $n$ grado $\ell$.
Deje $\alpha_0, \alpha_1, \cdots \alpha_\ell$ ser los coeficientes de este polinomio. es decir,
$$T_m(\sqrt{n})-U_{m-1}(\sqrt{n+1})\sqrt{n}
= \sum_{k=0}^\ell \alpha_k n^{k+1/2}$$
En términos de ellos, tenemos
$$S_{m,p} = \sum_{k=0}^\ell \alpha_k \sum_{n=1}^p n^{k+1/2} + U_{2\ell}(\sqrt{p+1})\sqrt{p}$$
Para cualquier $s > 0, \notin \mathbb{Z}$, tenemos las siguientes expansión asintótica${}^{\color{blue}{[1]}}$
$$\sum_{n=1}^p n^s - \zeta(-s) \asymp \frac{1}{s+1}\sum_{k=0}^\infty \binom{s+1}{k} (-1)^k B_k p^{s+1-k}$$
Deje $\Lambda(s,p)$ ser finito suma de los términos de RHS que diverge
como $p \to \infty$.
$$\Lambda(s,p) \stackrel{def}{=} \frac{1}{s+1}\sum_{k=0}^{\left\lfloor s + 1 \right\rfloor} \binom{s+1}{k} (-1)^k B_k p^{s+1-k}$$
Por construcción, estas contra-términos de matar a la divergencia en la suma de $\sum\limits_{n=1}^p n^s$$p \to \infty$.
Más precisamente, hemos
$$\lim_{p\to\infty} \left( \sum_{n=1}^p n^s - \Lambda(s,p) \right) = \zeta(-s)$$
La reescritura de las sumas parciales de nuevo, tenemos
$$S_{m,p} = \sum_{k=0}^\ell \alpha_k \left( \sum_{n=1}^n n^{k+1/2} - \Lambda(k+1/2,p)\right)
+
\underbrace{ \sum_{k=0}^\ell \alpha_k \Lambda(k+1/2,p)
+ U_{2\ell}(\sqrt{p+1})\sqrt{p}}_{R(m,p)}$$
Si la pieza de $R(m,p)$ en la expresión anterior se desvanece de forma idéntica, vamos a tener
$$S_m = \lim_{p\to\infty} S_{m,p} = \sum_{k=0}^\ell \alpha_k \zeta(-(k+1/2))$$
No sé cómo demostrar a $R(m,p)$ desaparecen para general $m$. Sin embargo, por extraño $m \le 99$, he utilizado un CAS para calcular $R(m,p)$ simbólicamente y verificar todos ellos desaparecen de forma idéntica.
Como resultado, para la extraño $m \le 100$, $S_m$ es una combinación lineal
para $\zeta(z)$ negativo de la mitad-valores enteros.
Para su referencia, la siguiente es una lista corta de $S(m)$ para las pequeñas extraño $m$.
$$
\begin{align}
S_3 &= -6 \zeta(-1/2)\\
S_5 &= -40 \zeta(-3/2)\\
S_7 &= -14 \zeta(-1/2) -224 \zeta(-5/2) \\
S_9 &= -240 \zeta(-3/2) -1152 \zeta(-7/2)\\
S_{11} &= -22 \zeta(-1/2) -2464 \zeta(-5/2) -5632 \zeta(-9/2)\\
S_{13} &= -728 \zeta(-3/2) -19968 \zeta(-7/2) -26624 \zeta(-11/2)\\
S_{15} &= -30 \zeta(-1/2) -12096 \zeta(-5/2) -140800 \zeta(-9/2) -122880 \zeta(-13/2)\\
\end{align}
$$
Notas
- $\color{blue}{[1]}$ - He encontrado esta expansión en un ejercicio de Frank W. J. Olver del libro "Asymptotics y Specical Funciones". Ver el $\S 8.3$ "Contorno integral para el resto de plazo" para obtener más información sobre este tipo de expansión.
