Geométricas invariantes de un sistema de

Question

Después de mi pregunta anterior acerca de la gavilla cohomology, me gustaría preguntarle acerca de sus aplicaciones a la geometría algebraica. Ahora he aprendido un poco acerca de álgebra homológica y puedo ver que para el común de los espacios topológicos $X$, $$H^0(X, A) \cong \Gamma(X, \Delta(A))$$ donde $A$ es cualquier grupo abelian, $\Delta(A)$ es la constante gavilla de $A$$X$, y el $H^0$ que aparecen en el lado izquierdo se refiere a la singular cohomology, por lo que es bastante plausible para mí que la mayor cohomology grupos también deben coincidir.

Por supuesto, el problema es que un esquema es más que un espacio topológico; en cierto sentido, el espacio subyacente es irrelevante y simplemente proporciona una configuración en la que la estructura de la gavilla puede ser definido. ¿Cómo recuperar el tradicional geométricas invariantes de, digamos, una compleja variedad en el mundo de la geometría algebraica?

Para ser un poco más precisos, supongamos $X$ es un buen algebraica proyectiva variedad de más de $\mathbb{C}$, visto como un esquema. Parece muy plausible para mí que $H^i(X, \mathbb{Z})$ (en el sentido de singular cohomology o gavilla cohomology) debe ceder nada de interés, dado el grosor de la topología de Zariski. Sin embargo, como yo lo entiendo, todavía es posible calcular geométricas invariantes (por ejemplo, Euler carácter, el género, los números de Betti) de la asociada al complejo colector de uso de la maquinaria de la geometría algebraica. Cómo se hace esto, y por qué funciona?

En realidad, no he aprendido mucho acerca de la geometría algebraica (o de su historia), así que me perdone si estoy haciendo preguntas acerca de algunos muy profundos resultados!

Answer 1

Primero de todos usted está completamente derecho a la deplorablemente inadecuado carácter de gavilla cohomology de la constante de poleas en algebraicas, geométricas variedades dotado de su topología de Zariski: si un esquema (o variedad) $X$ es irreductible, todos los más altos cohomology grupos $H^i(X, \mathbb Z_X) \quad$ ($ \mathbb Z_X$= constante gavilla) desaparecen para $i\gt0$ porque $ \mathbb Z_X$ es flácida, por lo tanto acíclicos.
Hay varias posibles soluciones a esta situación insatisfactoria, por ejemplo:

Analytification
Si $X$ se define sobre $\mathbb C$, hay un functorial manera de asociar a un complejo analítica del espacio $X(\mathbb C)$, con un clásico de la topología : por ejemplo, si $X$ era suave ( puramente algebraica noción), a continuación, $X(\mathbb C)$ será un holomorphic colector y , a fortiori, un topológica del colector. A continuación, puede aplicar todas las herramientas de topología algebraica: singular cohomology, homotopy teoría,...

Coherente cohomology
Si $X$ es proyectiva y suave (por ejemplo), se puede calcular la invariantes topológicos de $X(\mathbb C)$ usted está interesado en (característica de Euler, género, números de Betti) directamente en $X$ utilizando el cohomology coherente de las poleas como $\Omega_X^n$, la gavilla de la diferencia de $n$ formularios en $X$. Permítanme enfatizar que estos cálculos están realizados íntegramente en el algebraicas categoría, que es mediante el uso de la topología de Zariski.

Etale cohomology
Este es uno de Grothendieck más brillantes perspectivas en su carrera.
Cambiando un poco el concepto de topología, Grothendieck demostró que se puede definir una teoría razonable de cohomology con coeficientes constantes para todos los esquemas. Si el esquema pasa a ser una variedad de más de $\mathbb C$, Mike Artin demostró un teorema de comparación para el efecto de obtener el mismo invariantes como a través de analytification.
Usted podría estar interesado por esta pregunta y sus respuestas en MathOverflow en el tema de étale cohomology, donde también encontrará un enlace a Milne fina línea gratuita de notas sobre el tema.

Ilustración
Deje $X$ ser completado sin problemas conectado curva sobre el algebraicamente cerrado campo de $k$. Permítanos calcular su género $g$ por los tres métodos anteriores.
Analytification: Si $k=\mathbb C$, el uso de $rank_{\mathbb Z}H^1(X(\mathbb C),\mathbb Z)=2g$.

Coherente cohomology : el Uso de la fórmula $g=dim_{\mathbb C}H^1(X,\mathcal O)$ o también $g=dim_{\mathbb C}H^0(X,\Omega_X^1)$

Etale cohomology: Elegir cualquier prime $p\neq char.k$ y el uso de $H^1_{étale}(X,\mu_p)=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^{2g}$ donde $\mu_p$ es la gavilla en $X$ (en el étale topología) de $p$-th raíces de la unidad.

Bibliografía
Neeman, Algebraica y geometría analítica Para analytification.
Pozos, análisis Diferencial en los complejos colectores De Hodge de la teoría.