¿Existe un sistema de tal manera que la identidad aditiva es distinto de cero?

Question

Estoy tratando de explicar cómo a pesar de la identidad aditiva está escrito como $0$, no es el mismo que el número de $0$. Por ejemplo, para un $2\times 2$ matriz de la identidad aditiva es $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Sin embargo, esto es un mal ejemplo, ya que sólo involucra $0$'s

Entonces, ¿qué es un sistema tal que el additve identidad es distinto de cero (de preferencia que no impliquen un $0$)?

Me gustaría utilizar el mod p, pero esta (aparentemente) contradice la regla de la singularidad de la identidad

Esto porque surgió de una pregunta, de encontrar un espacio vectorial tal que $0=1$, sin embargo por "$0,1$" que significaba el aditivo y multiplicativo identidades. Así que yo estaba tratando de explicar que la additve identidad es diferente de $0$ en ciertos sistemas.

Answer 1

Considerar el semiring tropical $(\mathbb R\cup\{\infty\},\oplus,\otimes)$, donde $x\oplus y=\min\{x,y\}$ y $x\otimes y=x+y$. Es de la identidad "aditiva", lo que significa el elemento identidad para la operación de $\oplus$, $\infty$. Está bastante lejos de $0$!

El número $0$ está presente, pero no es la identidad aditiva en esta estructura. Por ejemplo, $0\oplus 79 = 0$. Por el contrario, $0$ es la identidad "multiplicativa": $0\otimes y=y$.

Answer 2

En los números enteros bajo operación $*$ definidas en $n * m = n + m - 1$, $1$ actúa como identidad aditiva.

Por supuesto, esto es idéntico a la estructura ordinaria grupo aditivo de los enteros excepto relabeling. Pero hay situaciones ocasionales donde las personas se encuentran con esta operación, generalmente cuando hay errores off-by-one históricos con. Por ejemplo, $*$ es la operación que se utiliza para agregar intervalos musicales juntos.

Answer 3

Un lightswitch tiene dos valores, encendido y apagado. Montar dos convertía en paralelo. Ahora tienes en la siguiente tabla de adición:

$$\begin{array}{c|cc} + & \textrm{off} & \textrm{on} \\ \hline\\ \textrm{off} & \textrm{off} & \textrm{on} \\ \textrm{on} & \textrm{on} & \textrm{on} \end{matriz} $$

Obviamente, $\textrm{off} + \textrm{on} = \textrm{on}$ y $\textrm{off} + \textrm{off} = \textrm{off}$, por lo que el sistema satisface las propiedades deseadas.

Answer 4

Me sorprende que nadie menciona curvas elípticas con su "habitual" elíptica-la curva de adición. Usted elige dos puntos de $a$ $b$ sobre una curva elíptica. A continuación, $a+b$ se define como el negativo del tercer punto de intersección entre la curva elíptica y la línea recta que conecta $a$$b$. En este caso, la identidad aditiva es denotado $O$, que es el punto en el infinito. Y este ejemplo no es sólo patológico. Curvas elípticas son ampliamente utilizados con la mayoría-el mundo real-por ejemplo, la criptografía.

Answer 5

Usted probablemente tendrá que dejar el número de sistemas si usted desea conseguir lejos de donde 0 es la identidad aditiva. Por ejemplo, si usted toma la operación + a ser permutaciones, entonces usted tendría un sin-número de identidad aditiva, que sería la identidad de permutación (es decir, no permutar cualquier cosa). También se podría tomar el funcionamiento de las simetrías en el plano, donde la identidad no sería voltear nada.

Usted puede querer hacer más claro exactamente lo que usted desea. ¿Usted realmente quiere un sistema que tiene una adición y la multiplicación de la operación, de tal manera que la multiplicación por la identidad aditiva no es necesariamente igual a la identidad aditiva?