¿En espontánea de la simetría rompe, simetría global rota por subgrupo calibrada?

Question

Mi pregunta es simple. Dado un grupo de $G$ roto para un subgrupo $H$, medir un posible diferente subgrupo Hg rompe explícitamente el mundial de simetría $G$, generando lo que se conoce como pseudo-bosones de Goldstone. ¿Por qué es esto?

La respuesta habitual que tengo es que la medición determina una dirección específica en el campo del espacio, pero realmente no entiendo esta declaración, cómo tener un subgrupo $Hg$ medido puede romper el mundial de $G$ explícitamente?. Lo que tengo en mente es que en el interior del medidor de transformaciones $Hg$ no se incluyen los mundiales, así que esto es lo que me confunde.

Answer 1

¿Cómo se puede medir sólo un subgrupo de no romper la simetría? No es cualquier elemento del grupo que no preservar mi medidor subrgoup va a cambiar la acción.

Vamos que tengo un $SU(2)$ simetría, y algunos escalares campo $\rho$ en el fundamental. Si me medidor de la $U(1)$ de los subgrupos correspondientes a las rotaciones por $\sigma_z$. Tengo un Lagrangiano

$$\mathcal{L} = |(\partial + A \sigma_z)\psi|^2 + V(|\psi|^2)$$

No esta manifiestamente romper el $SU(2)$ de simetría? Por su punto acerca de global simetrías se deduce que todos los de el punto de interacciones debe permanecer invariable, pero el Lagrangiano como un todo no es invariante.

Este ejemplo podría físicamente corresponden a dos campos que se carga opuesta, pero de otra manera simétrica. Las olas en el $z$ eje se corresponden entonces a cargado olas como una de plasmones, mientras que las rotaciones en el $x-y$ plano local calibre transforma. Por lo que son claramente diferentes.

Agregó

Todo el mundo parece estar teniendo problemas para ver de que esta rompe la simetría, y quiere decir que la operación $\psi \rightarrow U\psi$, $A\sigma_z \rightarrow U A\sigma_z U^{\dagger}$, donde $U$ $SU(2)$ matriz, es una "simetría" de la Lagrangiana. Permítanme escribir la ruta de acceso completa de la integral:

$$\int\mathcal{D}A\mathcal{D}\psi\exp\{i\int d^dx \mathcal{L}\}$$ $$\mathcal{L} = (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)^2 +|(\partial_\mu + A_\mu \sigma_z)\psi|^2 + V(|\psi|^2)$$

La variable $A_\mu$ es $SU(2)$ escalares. Es tan sólo un 1-la forma como en el electromagnetismo. La integración de la medida (que también contiene lo poco importante indicador de fijación) es simplemente un integrante más de un 1-campo de formulario. Ahora, por ejemplo, para obtener el teorema de Noether necesito un cambio de variables que sale de mi camino integral invariante. El mapa de $A\sigma_z \rightarrow U A\sigma_z U^{\dagger}$ es no un cambio de variables - no puedo ir cambiando $A$, ya que el $A$ no sabe nada acerca de $SU(2)$. No hay manera de que pueda cambiar de $x\sigma_z$ $y\sigma_x$haciendo una sustitución de $y=f(x)$.

Se puede reescribir toda la cosa como

$$\int\mathcal{D}\hat{A}\mathcal{D}\delta(\hat{A}_{x,y})\psi\exp\{i\int d^dx \mathcal{L}\}$$ $$\mathcal{L} = (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu\hat{A}_\mu)^2 +|(\partial_\mu + \hat{A}_\mu )\psi|^2 + V(|\psi|^2)$$

donde $\mathcal{D}\hat{A}$ es la medida para un $SU(2)$ campo. Pero para corresponder a lo que escribí se necesita que la función delta en la medida. De lo contrario, usted ha medido la totalidad de la $SU(2)$ simetría que obviamente es un invariante. Ahora usted puede hacer el cambio de variables $A\rightarrow U\hat{A}U^\dagger$, pero este no sale de su ruta integral invariante debido a que gran función delta.

Answer 2

Principal Referencia de la Zee (la Mecánica Cuántica en una cáscara de Nuez).

1) Global simetría

Un mundial de simetría significa que el Lagrangiano es invariante por una transformación cuyos parámetros son constantes.

Para un global continuo de simetría, si la simetría de la Lagrangiana es el grupo $G$, y si la simetría de la aspiradora es el grupo $H$, un subgrupo de $G$, usted tiene ($dim G-dim H$) bosones de Goldstone.

Por ejemplo, tomar un complejo campo escalar $\Phi$ con un sombrero Mexicano potencial , de modo que el total de la densidad Lagrangiana es $L = \partial \phi^\dagger \partial \phi + \mu^2 \phi^\dagger \phi - \lambda (\phi^\dagger \phi)^2$.

El grupo de simetría es aquí $G=O(2)$

Definir $\phi = \rho e^{i\theta}$

Romper la simetría significa elegir por el vacío de los mínimos del potencial, y un ángulo particular, que es :

$\rho_V = v, \theta_V = \theta_0$

El grupo $H$ es trivial aquí.

Definir : $\rho = v + \chi$ donde $v = \sqrt{\frac{\mu^2}{2\lambda}}$

Desarrollando el Lagrangiano, se obtiene un plazo $v^2(\partial \theta)^2$, que es la dinámica parte de una masa de campo $\theta$, lo $\theta$ es nuestro bosón de Goldstone (Hay uno porque $dim G - dim H = 1 - 0 = 1 $).

Así, vemos, que la ruptura espontánea de simetría podría surgir en un mundial continua de simetría.

2) simetría Local

Un local de simetría significa que el Lagrangiano es invariante por una transformación cuyos parámetros son funciones del espacio-tiempo.

"Medición" significa (continua) local de la simetría. Así que usted no necesita la "medición" para tener una ruptura espontánea de simetría.

Con un local de simetría, algunos de los Bosones de Goldstone son "comido" por el Medidor de campo ($A_\mu$), por lo que estos medidor de campos (que son sin masa) masiva. En un espacio 4d-dimensión de tiempo, una masa Medidor de campo ha $2$ grados de libertad, mientras una enorme medidor de campo ha $3$ grados de libertad. Para ello, el Medidor de campo tiene que "comer" un grado de libertad (un bosón de Goldstone)

3) Global de la simetría como un caso especial de la Local de Simetría

En el conjunto de locales de simetría, simetría global es un caso muy especial (muy especial subconjunto), donde los parámetros de transformación son constantes. Por lo tanto, si usted quiere, usted puede considerar la posibilidad de que el mundial de simetría están "incluidos" en el local de la simetría.