Ejemplo de grupo no abeliano con todos los subgrupos propios normales

Question

¿Cómo podemos encontrar un ejemplo de grupo no abeliano para el que todos los subgrupos propios sean normales? Es una de las preguntas de mi hoja de guía de estudio. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $Q = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ sea el grupo de cuaterniones . Dejemos que $Z$ sea un subgrupo de orden $2$ . Desde $-1$ es el único elemento de orden $2$ , $Z = \{1, -1\}$ . Como es el único subgrupo de orden $2$ Es normal. Dejemos que $H$ sea un subgrupo de orden $4$ . Desde $(Q : H) = 2, Q = H \cup aH = H \cup Ha$ por cada $a \in Q - H$ . Por lo tanto, $aH = Ha$ . Por lo tanto, $H$ es normal.