Forma integral de $\Gamma (x)$

Question

Intentando representar los polos y la continuación analítica de $\Gamma (x)$, el autor utiliza la siguiente igualdad:

¿% #% $ #% Cualquier ayuda en averiguar cómo?

Answer 1

Para ampliar mi comentario: para $0\leq t\leq 1$: $\displaystyle S_n(t)=\sum_{k=0}^n\frac{(-t)^k}{k!}$. Tenemos $$\sup_{0\leq t\leq 1}|\exp(-t)-S_n(t)| = \sup_{0\leq t\leq 1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-t)^k}{k!}\leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k!},$ $ y desde que la serie $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac 1{k!}$ es convergente, la secuencia $\{S_n\}$ converge uniformemente a $t\mapsto \exp (-t)$ $\left[0,1\right]$. Por lo tanto, podemos cambiar la serie y la integral $x\geq 1$:

$\begin{align*} \int_0^1t^{x-1}e^{-t}dt&=\int_0^1t^{x-1}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kt^k}{k!}\right)dt\\ &=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\int_0^1 t^{x+k-1}dt\\ &=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!(x+k)}. \end{align*} $

$0<x<1$, Podemos utilizar el dominado Teorema de convergencia desde $|t^{x-1}S_n(t)|\leq e\cdot t^{x-1}$ que es integrable en $\left[0,1\right]$ (podemos utilizar un argumento más simple en el caso $x\geq 1$).

Answer 2

Si le ayuda por favor, mira en este link.