Inverso multiplicativo de a $0$

Question

Si no me equivoco, en un anillo con identidad, la identidad aditiva no tiene un inverso multiplicativo. Estoy tratando de probar este.

Aquí está mi intento hasta ahora:

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Supongamos $0\cdot a=1$ $$0\cdot a=1$$ $$0\cdot (a + n) = 0\cdot a + 0\cdot n$$

Es fácil ver que si $n$ eran de un número entero positivo (igual funciona negativo): $$n=1+1+1+\cdots$$ $$0\cdot a + 0\cdot (1 + 1 + 1+\cdots )$$ $$0 \cdot a + 0 + 0 + 0 + \dots = 0\cdot a$$ $$\therefore 0\cdot n = 0$$ Si $a$ es un número entero de inversos multiplicativos suman, entonces esto es una contradicción.

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Este se basa en el supuesto de que $n$ es un número entero múltiplo de la multiplicación de la unidad, que no puede ser. Esto también me puso a pensar acerca de si la distributividad de la multiplicación sobre la adición se discretiza en la totalidad de los términos (sólo puede usar los operadores con números enteros de términos) o si el concepto de distrubitivity en realidad va más allá.

Principalmente me gustaría una prueba de que la identidad aditiva no se puede tener un inverso multiplicativo y por qué $0\neq 1$. Pero algunas profunda comprensión de por qué las propiedades de un anillo de plomo para esto sería una ventaja.

Answer 1

$$0\cdot a= (0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a$$ Now substract $(0\cdot a)$ on both sides (we can do this because $\forall r\ \exists(-r)\mediados de r-r=0)$:$$0=0\cdot a$$ This means that $0$ can only have a multiplicative inverse if $0\cdot \tilde una=0=1$ for some $\tilde$. This then implies that we have $x=x\cdot1=x\cdot0=0\ \ \forall x$, hence we live in the zero-ring $\{0\}$.

Así que para cualquier anillo de $R$, $0$ tiene un inverso multiplicativo $\iff$$R=\{0\}$

Answer 2

Supongamos que existe $a = 0^{-1}$. Entonces $$ 1 = 0\cdot a = (a-a)\cdot a = a^2 - a^2 = 0 $$

Entonces, para todos los $b$ en el ring, $$b = b\cdot 1 = b \cdot 0 = 0 $$ así que el cero es el único elemento del anillo.

Consecuencia: Si no es distinto de cero elemento del anillo, $0$ no tiene un inverso multiplicativo.

Answer 3

La distributividad implica la absorción en la identidad aditiva, es decir, $$\forall a,b,c \epsilon R a(b+c)=ab+ac \implies ab=a(b+0)=ab+a0 \implies a0=0$$ Así que si todo veces cero es igual a cero, entonces, evidentemente, usted no puede tener algo de veces de cero igual a uno, a menos cero es igual a uno y que busca en el cero del anillo.