Cómo encontrar este determinante $\det(\cos^4{(i-j)})_{n\times n}$

Question

Pregunta:

Definir el % de matriz $A_{k}=(a^k_{ij})_{n\times n}\quad$donde $a_{ij}=\cos{(i-j)},\quad n\ge 6$

Encontrar el valor %#% $ #%

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Mi intento:

desde

$$\det(A_{4}) =\begin{vmatrix} 1&\cos^4{1}&\cos^4{2}&\cdots&\cos^4{(n-1)}\\ \cos^4{1}&1&\cos^4{1}&\cdots&\cos^4{(n-2)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\ \cos^4{(n-1)}&\cos^4{(n-2)}&\cos^4{(n-3)}&\cdots&1 \end{vmatrix}$$

y sé % $\det(A_{4})=\:?$

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Sospecho lo siguiente resultado: $$\det(A_{1})=\det(A_{2})=0

Pero no puedo comprobarlo.

Answer 1

Desde $\cos^2(x)=\frac{\cos(2x)+1}{2}$, tenemos

$$\cos^4(x)=\bigg(\frac{\cos(2x)+1}{2}\bigg)^2= \frac{\cos^2(2x)+2\cos(2x)+1}{4}= \frac{\cos(4x)+4\cos(2x)+3}{8} \etiqueta{1}$$

Por inducción en $n$, para cada $n>0$ hemos $$\cos^4(x+n)=a_n\cos(4x)+b_n\sen(4x)+c_n\cos(2x)+d_n\sin(2x)+e_n \etiqueta{2}$$

donde las secuencias $a_n,b_n,c_n,d_n,e_n$ son definidos por $a_0=\frac{1}{8},b_0=0,c_0=\frac{1}{2},d_0=0,e_0=\frac{3}{8}$ y la recurrencia de la relación

$$\left(\begin{matrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \\ d_{n+1} \\ e_{n+1} \end{de la matriz}\right)= B \times \left(\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n} \\ d_{n} \\ e_n \end{de la matriz}\right), \text{ con }B= \left(\begin{matrix} \cos(4) & \sin(4) & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(4) & \cos(4) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(2) & \sin(2) & 0 \\ 0 & 0 & -\sin(2) & \cos(2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{de la matriz}\right) \etiqueta{3}$$

El polinomio característico de a $B$ es

$$\begin{array}{lcl} \chi_B &=& (X^2-2\cos(2)X+1)(X^2-2\cos(4)X+1)(X-1) \\ &=& X^5-(1+2\cos(2)+2\cos(4))X^4 +(2+4\cos(2)+2\cos(4)+2\cos(6))X^3\\ & & -(4\cos(4)+2)X^2+(1+2\cos(2)+2\cos(4))X-1 \end{array} \etiqueta{4}$$

Por el Cayley Hamilton-teorema, tenemos por cualquier $x$,

$$\begin{array}{lcl} \cos^4(x+5)&=& (1+2\cos(2)+2\cos(4))\cos^4(x+4) \\ & & -(2+4\cos(2)+2\cos(4)+2\cos(6))\cos^4(x+3) \\ & & +(4\cos(4)+2)\cos^4(x+2) \\ & & +(1+2\cos(2)+2\cos(4))\cos^4(x+1)-\cos^4(x) \end{array} \etiqueta{5}$$

Así que para cualquier $n$, matriz $A_n$ tiene rango en la mayoría de los $5$. En particular, ${\sf det}(A_n)=0$ $n\geq 6$.

Nota : el rango de $A_n$ es exactamente $5$$n\geq 6$, debido a que el $\cos(kx) (k\geq 0)$ son linealmente independientes.

Answer 2

Sugerencia: Un cálculo en MATHEMATICA sugiere que un vector en el nullspace de esta matriz es $$(-1, 1 + 2 \cos(2) + 2 \cos(4), -2 (1 + 2 \cos(2) + \cos(4) + \cos(6)), 2 (1 + 2 \cos(2) + \cos(4) + \cos(6)), -1 - 2 \cos(2) - 2 \cos(4), 1, 0, \cdots, 0, 0)^T.

Comentario: Sería mejor cuidar más la ortografía y la gramática en tu post.