El lema de Zorn en álgebra abstracta?

Question

Es bien konwn que el lema de Zorn implica:

Prop.1 de Cada conmutativa unital anillo tiene un ideal maximal.

Prop.2 Cada apropiado ideal está contenido en un ideal maximal en un unital anillo.

Pregunta: ¿se Puede demostrar que las anteriores proposiciones, sin que el lema de Zorn?

Answer 1

"Cada unital anillo (distinta de la trivial anillo) tiene la máxima ideales" es equivalente al Axioma de Elección (y, por tanto, el Lema de Zorn) en ZF. Así que uno no puede probar sin el Lema de Zorn o alguna declaración equivalente.

"En un unital anillo de $R$, cada apropiado ideal está contenido en un ideal maximal" se sigue de la primera proposición tomando el cociente $R/I$ y levantar a un ideal maximal usar el entramado teorema de isomorfismo. Por el contrario, si en un unital anillo cada apropiado ideal está contenido en un ideal maximal, entonces cada unital anillo tiene la máxima ideales: sólo tiene que encontrar un ideal maximal que contiene el cero ideal. Así que esta proposición es equivalente a la primera, y por lo tanto no puede ser probado sin el Lema de Zorn o alguna declaración equivalente.

Answer 2

Como Profe Magidin menciona, la existencia de máxima ideales implica el axioma de elección. Tenía curiosidad por ver cómo se hace esto, y se encontró una prueba en la pg. 112 de este libro de Rubin y Rubin. Hodges dio la primera prueba en 1979 (!), y fue algo más fuerte, a saber, que la existencia de máxima ideales en factorial de los anillos es suficiente para implicar elección.