Si $n$ es un perfecto número $ n> 6$ demostrar que la suma de sus dígitos es $\equiv 1 (\bmod 9)$

Question

Si $n$ es un perfecto número $ n> 6$ demostrar que la suma de sus dígitos es $\equiv 1 \mod 9$. Sé perfecto números son de la forma $(2^{p-1})(2^{p}-1)$. Tengo un par de pruebas que he hecho y el check out, pero tan lejos como una prueba de que no tengo idea de por donde empezar ya que tengo uso de los dígitos del número.

Answer 1

Usted probablemente sabe que divisibilty por $9$ puede ser decidido mediante la comprobación de si la suma de los dígitos es divisible por $9$.

Más específicamente, es cierto que la suma de los dígitos de un número de $n$ es congruente a $n$ modulo $9$.

Así, para mostrar lo que usted desea, también puede demostrar que el número perfecto en sí es congruente a $1$ modulo $9$.

Para ello escribimos en la $$1 + \frac{(2^{p}-2)(2^{p} + 1)}{2}.$$

Ahora, como usted sabe, $p$ es impar, se puede determinar $2^{p}$ modulo $3$ y ver que $$\frac{(2^{p}-2)(2^{p} + 1)}{2}$$ is in fact divisible by $9$ since each of the two factors in the numerator is divisble by $3$.

Answer 2

Tenga en cuenta que si $\mathfrak{d}(n)$ es la suma de dígitos de $n$, luego $$\mathfrak{d}(n) \equiv n \pmod{9}.$$ Hence we wish to show that the perfect number $n$ is congruent to $1$ modulo $9$. Now note that $$2^0 \equiv 1 \pmod{9}$$$$2^1 \equiv 2 \pmod{9}$$ $$2^2 \equiv 4 \pmod{9}$$ $$2^3 \equiv 8 \pmod{9}$$ $$2^4 \equiv 7 \pmod{9}$$ $$2^{5} \equiv 5 \pmod{9}$$ $$2^{6} \equiv 1 \pmod{9}$$ $$\vdots$$ This exponentiation repeats modulo $6$. As you noted, perfect numbers are of form $2^{p - 1}(2^p - 1)$.

1) $p \equiv 0 \pmod{6}$, $2^{p - 1}(2^p - 1) \equiv 5 \cdot (1 - 1) \equiv \color{red}0 \pmod{9}$

2) $p \equiv 1 \pmod{6}$, $2^{p - 1}(2^p - 1) \equiv 1 \cdot (2 - 1) \equiv 1 \pmod{9}$

3) $p \equiv 2 \pmod{6}$, $2^{p - 1}(2^p - 1) \equiv 2 \cdot (4 - 1) \equiv \color{red}6 \pmod{9}$

4) $p \equiv 3 \pmod{6}$, $2^{p - 1}(2^p - 1) \equiv 4 \cdot (8 - 1) \equiv 1 \pmod{9}$

5) $p \equiv 4 \pmod{6}$, $2^{p - 1}(2^p - 1) \equiv 8 \cdot (7 - 1) \equiv \color{red}3 \pmod{9}$

6) $p \equiv 5 \pmod{6}$, $2^{p - 1}(2^p - 1) \equiv 7 \cdot (5 - 1) \equiv 1 \pmod{9}$

Tan sólo en los casos que podrían ser problemáticos son $p \equiv 0,2,4 \pmod{6}$. Es bien conocido desde Euclides que si $2^{p - 1}(2^p - 1)$ es incluso un número perfecto, a continuación, $p$ es primo. Pero luego tenemos a $$p = 6k + a \text{, where } a \in \{0,2,4\} \implies p \text{ is composite}$$, que es una contradicción.

Answer 3

Cualquier número entero positivo que es congruente con la suma de sus dígitos modulo $9$, por lo que quiere demostrar que cualquier entero de la forma $(2^{p-1})(2^p-1)$ es congruente a $1$ modulo $9$ al $p$ es un número primo mayor que $2$.

Ahora, el orden de $2$ en el grupo de unidades de $(\mathbb Z/9\mathbb Z)^\ast$$6$. Por lo tanto, si $r\equiv s\pmod 6$,$2^r\equiv 2^s\pmod 9$. Cada primer número $p>3$ tiene la propiedad de que $p\equiv\pm1\pmod 6$, y en el caso de $p=3$ puede comprobarse por separado.
Si $p\equiv 1$, luego $$(2^{p-1})(2^p-1)\equiv1\cdot(2-1)\equiv 1\pmod9$$
If $p\equiv-1$, then $$(2^{p-1})(2^p-1)\equiv7\cdot(5-1)\equiv 1\pmod 9$$