Cómo demostrar que las órbitas planetarias son secciones cónicas

Question

Es muy divertido utilizar ecuaciones diferenciales para demostrar que la trayectoria de una partícula sigue una parábola bajo aceleración constante, un círculo cuando el momento angular es suficiente para permitir una aceleración radial cero y una elipse cuando está en una órbita general. (Todavía no he hecho la hipérbola).

Pero una cuestión que siempre me ha intrigado es por qué todos estos objetos siguen secciones cónicas bajo la gravedad. Intuitivamente, parece que la responsable es la ley del cuadrado inverso en coordenadas polares. Pero un objeto que acelera bajo una fuerza constante sigue adoptando una parábola. ¿Está esto relacionado con el hecho de que el momento angular es constante en gravedad debido al par cero? (segunda ley de Kepler)

Answer 1

Las órbitas planetarias son cónicas de sección en la aproximación de una fuerza gravitatoria central atractiva de un fijo Sol.

El hecho de que en este caso las órbitas sean secciones cónicas depende no sólo de que la fuerza dependa sólo de $r$ como $F=kr^n$ (fuerza central ), sino también del hecho de que $ n=-2$ por la gravedad.

La naturaleza de la cónica depende de la energía específica total $E_T$ tenemos una elipse si el $E_T<0$ ( el sistema está cerrado), una parábola si $E_T=0$ (un sistema crítico abierto) o una hipérbola si $E_T>0$ (sistema abierto).

Hay multitud de recursos en Internet sobre este tema (como sugiere Mark McClure o como aquí ).

El caso de un cuerpo que cae en un campo de fuerzas constante es diferente de estas situaciones porque aquí no tenemos una fuerza central, y el hecho de que la solución sea una parábola tiene la simple motivación de que las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo orden y una función que tiene una derivada segunda constante es un polinimio de segundo grado.

Answer 2

Ésta es mi opinión sobre la cuestión:

Primero supongo que por "órbita" te refieres realmente a la imagen de la órbita, porque la órbita parametrizada (como función del tiempo) contiene en sí misma más información que describe tu sistema físico, por ejemplo su derivada temporal(velocidad).

Una característica importante para las órbitas planetarias es la conservación de la energía mecánica, de modo que su posición también determina su energía cinética, por lo que en este caso la posición es la información mínima que necesita para reconstruir su sistema físico.

Por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos que tienen la misma distancia total a los dos focos, y las parábolas son el conjunto de puntos que son equidistantes tanto de la directriz como del foco. Esto nos proporciona las herramientas necesarias para parametrizar al mismo tiempo la energía potencial y la energía cinética.

Pensemos, por ejemplo, en un cuerpo celeste que orbita alrededor de un planeta. Dadas sus posiciones relativas y la velocidad del cuerpo celeste, pensemos que el planeta es el primer foco que parametriza la energía potencial y un segundo foco que parametriza la energía cinética. Este segundo foco se situará en el círculo que rodea al cuerpo celeste con radio su energía cinética, y su posición en este círculo vendrá determinada por la dirección de la velocidad, de forma que ésta sea tangente al eclipse resultante.

Por supuesto, el mismo ejercicio puede realizarse también para objetos sometidos a una fuerza constante.