Atiyah y Macdonald Ejercicio 1.27

Question

Por favor, no arruines la diversión por decirme el por qué $\mu$ es surjective!

Estoy teniendo problemas con la comprensión de la idea de coordinar las funciones en el afín variedad algebraica $X$. Estoy tratando de entender que $P(X)$ es generado como un $k$-álgebra por la de coordinar las funciones. Entiendo lo que significa ser generados como $k$-álgebra, pero el problema es que no entiendo lo de las coordenadas son funciones!

Sólo algunos notación: $P(X) = k[t_1,t_2,\ldots, t_n]/I(X)$ donde k es algebraicamente cerrado y $I(X)$ es el ideal de la variedad $X$.

¿Qué es lo que explícitamente se refieren cuando dicen "Vamos a $\xi_i$ ser la imagen de $t_i$$P(X)$."? Realmente no puedo ver lo que la imagen de un desconocido.

Por ejemplo, si tengo $k[t]/(t^2)$, entonces la imagen de la $t$ aún $t$, pero con la relación que $f(t)t^2 = 0$$f \in k[t]$.

Si he a$k[x,y]/(xy-1)$, a continuación, las imágenes de $x$ $y$ aún $x$$y$$f(x,y)(xy-1) = 0$? Así que no hay forma explícita de mostrar la imagen de una variable?

Entonces el problema dice que si $x \in X$, $\xi_i(x)$ $i$th coordenada de x. Supongo que esto sólo significa que el habitual "conectar" de un elemento en una ecuación. ¿Por qué no en este trabajo arbitrarias de elementos en $k^n$?

Answer 1

Mucho de esto se repite a lo que Pablo dice en su comentario anterior.

Desde $k$ es algebraicamente cerrado es infinito, por lo que el mapa de $A := k[x_1, \dots, x_n] \to \operatorname{Fun}(k^n, k)$ es inyectiva. [Esto no es la parte importante, pero es reconfortante.] Podemos componer con restricción de funciones para obtener un mapa en $\operatorname{Fun}(X, k)$. El ideal de $I(X)$ es el núcleo de esta composición.

Por eso, $A(X) := A/I(X)$ puede ser identificado con un sub-anillo del anillo de funciones en $X$ y esto nos permite evaluar los elementos de $A(X)$ en puntos de $X$.

Como con cualquier cociente, hay un canónica mapa de $\phi\colon A \to A(X)$ y estamos estableciendo $\xi_i = \phi(x_i)$. Yo no diría que $\xi_i$ $x_i$ son la misma cosa: ellos viven en diferentes anillos. $\xi_i$ es el coset $x_i + I(X)$. Por supuesto, es común decir cosas como $x_1 = 2x_2$ $A/I(X)$ pero uno debe ser consciente de lo que está pasando.

No podemos evaluar fuera de $X$ porque si $x \notin X$, entonces hay un elemento $f \in I(X)$ tal que $f(x) \neq 0$. Para definir $\bar g(x)$ algunos $\bar g \in A(X)$ trataremos de elegir el representante de $g \in A$ tal que $\phi(g) = \bar g$ y, a continuación, establezca $\bar g(x) = g(x)$. Pero $g + f$ es otro de los "levante" de $\bar g$$g(x) \neq g(x) + f(x)$.

En el primer ejemplo [nota, sin embargo, que el $(t^2)$ no podía ser de la forma $I(X)$; si desea asociado un espacio geométrico, hacer los ejercicios en los esquemas!], $t$ es lo mismo que $t + t^2$ en el cociente y estos se evalúan de forma diferente en $1$.