Si $f$ es una función continua en a $[a,b]$, entonces para cualquier $x,y \in [a,b];~y>x$, podemos decir que el $\exists~c \in [x,y]$ tal que $f~'(c)= \dfrac {f(y)-f(x)}{y-x}$.
Qué $f~'$ tienen que ser necesariamente continuo para aplicar la media teorema del valor de los derivados?
Si no, ¿por qué es $f~''$ necesario para ser continua en este problema aquí
Muchas gracias por su ayuda.
$f'$ no necesita ser continua para aplicar el teorema para los productos derivados. Por ejemplo, considere la posibilidad de $[a,b] = [0,1]$ y $$f(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \frac{x}{4} & 0 \leq x < \frac{1}{3} \\ 2x - \frac{7}{12} & \frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{3} \\ \frac{3x+1}{4} & \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \end{array}\right. $$ $f$ es continua, sino $f'$ no lo es. A continuación, el MVT para los derivados (si es aplicable) dice que en algún lugar en el intervalo, $f'(x) = 1$. Pero para esta función, $f'(x) \in \{\frac{1}{4}, 2, \frac{3}{4} \}$.
Sin embargo, no podemos decir que esta función es diferenciable en todas partes. Si la función es diferenciable en todas partes, entonces el MVT sí.
No, la continua suposición no es necesario. Como se ha señalado por los demás en los comentarios, el motivo esencial es la derivada satisface el valor intermedio de la propiedad. Si $f'$ toma el valor de $a,b$ $a<b$ en un intervalo, entonces $f'$ tendría que tomar cualquier valor $c$$(a,b)$.
Una heurística manera de pensar acerca de esto podría ser como sigue: primaria argumentos que habría $$ f(c)-f(d)=\int^{c}_{d}f'(t)dt\le (c-d)\max_{t\en [c,d]} f'(t) $$ y por análoga de argumentos $$ (c-d)\min_{t\en [c,d]}f'(t)\le f(c)-f(d)\le (c-d)\max_{t\en [c,d]} f'(t), c>d $$ Por lo tanto, por intermedio valor de la propiedad debe haber algún elemento $e\in [c,d]$ tal que $$(c-d)f'(e)=f(c)-f(d)\leftrightarrow f'(e)=\frac{f(c)-f(d)}{c-d}$$ and this is the mean value theorem. This is only heuristic because we assumed maximum and minimum exist for $f'$ on $[c,d]$, which is not necessary, but I hope the geometry is clear. The usual (rigorous) proof goes by constructing an ancillary function $h(t)=(f(c)-f(d))t-(c-d)f(t)$ y aplicar el teorema de Rolle.
Algunos de los debates conexos se puede encontrar en aquí (pero podría ser demasiado técnico y no tiene relación con la pregunta que te sobre en este punto):
No, es necesario que $f$ ser continua en $[a,b]$ y $f^{\prime}$ simplemente existe por todas partes en $(a,b)$. El Valor medio Teorema es una sencilla consecuencia del Teorema de Rolle, así que hablar de la prueba del Teorema de Rolle. Así que supongamos que $f(a) = f(b)$, y esto es suficiente para demostrar que $f^{\prime}(c) = 0$ algunos $c \in (a,b).$ El punto esencial es que por la continuidad de $f$, con ninguna suposición sobre la $f^{\prime}$, pero con el hecho de que estamos tratando con un intervalo cerrado, hay algunos $c \in [a,b]$ tal que $f(x) \leq f(c)$ todos los $x \in [a,b].$ Si $c = a$ o $c = b,$ $f$ es constante en $[a,b]$ $f^{\prime} = 0$ todas partes en $(a,b)$. Supongamos entonces que $c \in (a,b)$. Ahora si $x < c$ $f(x) - f(c) \leq 0$ $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0$ y, por tanto, $\lim_{x \to c^{-}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 .$ del mismo modo, si $x > c$ $f(x) - f(c) \leq 0$ $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0$ y, por tanto, $\lim_{x \to c^{+}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0 .$ Pero desde $f$ es diferenciable en a $c$, estos dos límites deben ser iguales. Ya que una es $\geq 0$ y la otra es $\leq 0$, ambas deben ser $0,$ $f^{\prime}(c) = 0.$
De la función derivada no tiene que ser continuo. El ejemplo clásico es la función dada por $$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}x^2 \sin(1/x) & x\neq 0\\ 0 & x = 0 \end{array}\right.$$
Esta función puede ser demostrado ser diferenciable en a $[0,1]$ pero es derivada no es continua en a $x=0$. Sin embargo, la hipótesis de que el valor medio teorema se aplica para cualquier función derivable en un intervalo cerrado.
La razón por la que requieren $f''$ ser continua en la pregunta que se hace referencia es así que podemos usar el hecho de que una función continua en un conjunto compacto tiene un almacén de la imagen.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
