Hay siempre un primer $p$, de modo que el mayor factor principal de $p^2+i$ que no exceda $p$$-k\leq i \leq k$?

Question

Definir $f(n)$=el mayor factor principal de $n$. Por ejemplo, $f(28)=7.$

Pregunta: ¿Es cierto que para cualquier entero $k>0$, podemos encontrar un primer $p>\sqrt k$, de modo que $$f(p^2-k)\leq p,f(p^2-k+1)\leq p,\dots,f(p^2+k)\leq p~?$$

Por ejemplo, si $k=6,$ podemos tomar $p=660683,$ desde $\{f(660683^2+i)\mid i=-6,-5,\dots,5,6\}=\{76493,53441,132137,278413,19289,55057,660683,614333,73483,43177,3049,273929,171553\}.$

Gracias de antemano!

Answer 1

No tengo pruebas, pero tengo una heurística argumento de que la declaración es verdadera, así como algunos asintótico de las estimaciones sobre el tamaño de $p$ como una función de la $k$.

En primer lugar, definir un número inusual para ser un número $n$ cuyo mayor factor primo es estrictamente mayor que $\sqrt{n}$. Uno de los requisitos en su pregunta está relacionada con la inusual de los números:

La proposición. Deje $k\geq 0$ ser un número entero, vamos a $p \geq \dfrac{k-3}{4}$ ser un extraño prime, y supongamos que el conjunto $$ \{p^2-k,\;p^2-k+1,\;\ldots,\;p^2+k\} $$ no contiene cantidades extraordinarias. A continuación, ningún elemento de este conjunto es divisible por cualquier número primo mayor que $p$.

Prueba: Vamos a $n$ ser un elemento del conjunto, y deje $q$ siendo el mayor número primo dividiendo $n$. Desde $n$ no es inusual, sabemos que $$ q \;\leq\; \sqrt{n} \;\leq\; \sqrt{p^2+k} \;\leq\; \sqrt{p^2+4p+3} \;<\; \sqrt{p^2+4p+4} \;=\; p+2. $$ Desde $q$ es el primer y $q < p+2$, se deduce que $q\leq p$.$\quad\square$

Ahora, este papel por John G. Kemeny da asintótica estimaciones sobre la frecuencia inusual de los números. Específicamente, si $u(n)$ indica el número inusual de los números de menos de o igual a $n$, Kemeny demuestra $$\ \lim_{n\to\infty} \frac{u(n)}{n} \;=\; \log 2. $$ Es decir, la probabilidad de que un número dado es inusual es acerca de $\log 2 \approx 69.31\%$. (Nota: Este resultado había sido previamente anunciado por Schroeppel en una inédita 1972 memo, pero Kemeny del papel que parece ser la primera publicación de la prueba.)

Así, a grandes rasgos, la probabilidad de que el conjunto $$ \{p^2-k,p^2-k+1,\ldots,p^2+k\} $$ no tiene ningún inusual números es $(1-\log 2)^{2k}$. Este valor no depende de la $p$, por lo que finalmente debe ser un número primo $p$ para que el conjunto correspondiente es libre de cantidades extraordinarias.

Por supuesto, tal razonamiento heurístico, siempre se debe tomar con un grano de sal. Similares argumentos heurísticos pueden ser hechas por el Doble Primer Conjetura y de Goldbach de la Conjetura, y estos son los principales problemas abiertos.

Por cierto, el razonamiento anterior nos da algunas estimaciones aproximadas sobre cómo un gran $p$ tiene que ser como una función de la $k$. En particular, dado un valor de $k$, no debería ser (con $>50\%$ de probabilidad) de un correspondiente valor de $p$ en algún lugar en el primer $(1-\log 2)^{-2k}\log 2$ números primos. Esto predice que no debe ser un valor de $k=7$ en el primer $11$ millones de números primos, y un valor de $k=8$ en el primer $112$ millones de números primos.

Edit: Después de una larga búsqueda, he encontrado que $83\text{,}323\text{,}327$ trabaja para $k=7$, e $383\text{,}155\text{,}211$ trabaja para $k=8$. (Primos de $k=1,\ldots,6$ fueron dados en los comentarios de arriba.) Estos son los números de $4\text{,}851\text{,}928$'th y $20\text{,}485\text{,}208$'th primos, respectivamente, lo que concuerda aproximadamente con la asintótico de las predicciones anteriores, a pesar de que ambos habían llegado un poco temprano. La predicción para la $k=9$ es que va a ser satisfechos por uno de los primeros a $1.2$ millones de números primos.