Significado de los campos eléctricos de los infinitos objetos

Question

Me he dado cuenta de un patrón con los campos eléctricos de objetos cargados de infinitas dimensiones.

Un punto de carga, que puede considerarse como una carga de 0 dimensiones, tiene un campo eléctrico que va como $r^{-2}$. Una línea infinita de carga, un 1 dimensiones del objeto, tiene un campo eléctrico que va como $r^{-1}$. El infinito plano (2D) tiene una constante de campo eléctrico o un campo proporcional a $r^0$. Y si se considera una esfera de carga eléctrica, usted puede hacer una Gaussiana esfera en su interior, y este campo eléctrico debe crecer como $r^1$.

Estoy tratando de encontrar una explicación para este patrón. La pregunta inicial que me llevó a considerar esta fue la diferencia entre el infinito de la línea y el plano infinito: ¿por qué uno depende de r, pero no en la otra? Es abordado brevemente en Griffiths E&M, donde creo que dice algo a lo largo de las líneas de "usted no puede conseguir lejos de un plano infinito". Pero por ese razonamiento, no entiendo cómo se puede "escapar" de una línea infinita. El razonamiento tendría algún sentido si se considera una infinita tablón, un plano que es infinito en una dimensión y finito en el otro, así que como usted consigue más lejos, una dimensión "encoge", mientras que el otro continúa "aparecen de la misma". Sin embargo, el "perfecto" línea infinita, sólo debe tener una dimensión para empezar, por lo que se debe "aparecer el mismo" no importa que tan lejos o cerca está...

Supongo que mis preguntas son estas: ¿por qué este patrón entre las dimensiones de un objeto y su campo de existir? ¿Cómo se puede "escapar" de una línea infinita?

Answer 1

No me gusta el "no se puede llegar lejos" explicación. Hay una explicación simple con líneas de campo:

En los tres casos, las líneas de campo son líneas rectas desde el punto de carga hasta el infinito. Usted puede calcular fácilmente la densidad de las líneas de campo de cada objeto. Para un punto de carga, el número de líneas de campo a través de cualquier esfera en el punto de carga es el mismo (como todas las líneas de campo son rectas, que tiene que pasar cualquier esfera con centro en la carga exactamente una vez). La densidad es $n/A$ donde $n$ es el número de líneas de e $A$ es el área de la superficie de la esfera. Por lo tanto, dado que el número de líneas es constante y la superficie de la esfera es $r^2$, la densidad va como $1/r^2$.

Para una línea, la densidad sólo se adelgaza alrededor de los círculos de la línea. En otras palabras, el número de líneas de campo a través de cada cilindro alrededor de la línea es la misma. Puesto que el área del cilindro es proporcional a $r$, la densidad de líneas de campo que crece como $1/r$.

Finalmente, el avión, el número de líneas a través de cualquier plano paralelo al plano es el mismo. Ya que la superficie no cambia, la densidad es constante (esto también es cierto, porque todas las líneas de campo son paralelas).

La única pregunta que queda es ¿por qué la fuerza del campo es proporcional a la densidad de las líneas de campo. ¿Por qué funciona? Supongo que de alguna manera intuitiva, pero para una respuesta técnica me referiré a la excelente respuesta de Emilio Pisanty aquí: las líneas de campo Eléctrico densidad de

Answer 2

Creo que la respuesta a su pregunta se encuentra en el teorema de Gauss en sí $$ \cualquier \textbf{E}d\textbf{S} \sim P $$ y la simetría del sistema, que define la forma de las superficies equipotenciales.

1. En el caso de un punto de carga hay una simetría rotacional alrededor de cualquier eje que va a través de la carga, de modo que las superficies equipotenciales son esferas cuya área es proporcional a $r^2$. Así, el campo es $\sim r^{-2}$ ($r$ es la distancia de la carga)

2. En el caso de una línea de simetría rotacional sólo existe alrededor de esta línea, de modo que las superficies equipotenciales son cilindros, cuya área (por longitud a lo largo de la línea) es $\sim r$ (aquí se $r$ es la distancia más corta a la línea). Así, el campo es $\sim r^{-1}$

3. Para un avión, superficies equipotenciales son planos, paralelo al plano dado, de su área (de nuevo, por unidad de área del plano dado) es independiente de la distancia desde el plano dado, como es el campo.

4. El caso de la esfera no es como los de arriba! Aquí usted está en el interior de la esfera, por lo que la carga de la $Q$ en el lado derecho de gauss la ley también cambia con la distancia desde el centro, de forma proporcional al volumen $\sim r^3$. Superficies equipotenciales son esferas de nuevo, cuya área es de $\sim r^2$, por lo que el campo se incrementa linealmente con la $r$. Si usted estuvo fuera de la esfera el campo disminuiría $\sim r^{-2}$ como en el caso 1.